Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y=x/49+x^2 на луче [0;+бесконечность], мы должны проанализировать поведение функции на этом отрезке, а именно, исследовать ее возрастание или убывание.
Начнем с исследования поведения функции на данном отрезке. Для этого вычислим производную функции и определим значения, при которых она равна нулю или не существует.
y = x/49 + x^2
Для удобства расчетов, давайте перепишем функцию в виде:
y = (1/49)x + x^2
Теперь вычислим производную функции y по x:
y' = 1/49 + 2x
Затем найдем значения x, при которых y' равна нулю:
1/49 + 2x = 0
2x = -1/49
x = (-1/49)/2
x = -1/98
Производная равна нулю при x = -1/98.
Так как мы ищем значения функции на луче [0;+бесконечность], мы можем исключить отрицательные значения x, поэтому условие x = -1/98 не существует на нашем отрезке.
Теперь мы можем проанализировать поведение функции. Так как производная положительна во всей области определения функции (y' > 0), это означает, что функция возрастает на всем отрезке [0;+бесконечность].
То есть, у функции нет наименьшего значения, так как она будет продолжать возрастать по мере увеличения x.
Поскольку мы рассматриваем луч [0;+бесконечность], самое большое значение функции будет в пределе x -> +бесконечность.
На этом отрезке, значение x^2 будет доминировать над значением x/49. Таким образом, предельное значение функции будет определяться x^2:
lim (x -> +бесконечность) x^2 = +бесконечность
Итак, наименьшего значения функции нет, а самое большое значение будет равно +бесконечность.
Ответ:
Наименьшего значения функции нет, а самое большое значение функции равно +бесконечность.
Начнем с исследования поведения функции на данном отрезке. Для этого вычислим производную функции и определим значения, при которых она равна нулю или не существует.
y = x/49 + x^2
Для удобства расчетов, давайте перепишем функцию в виде:
y = (1/49)x + x^2
Теперь вычислим производную функции y по x:
y' = 1/49 + 2x
Затем найдем значения x, при которых y' равна нулю:
1/49 + 2x = 0
2x = -1/49
x = (-1/49)/2
x = -1/98
Производная равна нулю при x = -1/98.
Так как мы ищем значения функции на луче [0;+бесконечность], мы можем исключить отрицательные значения x, поэтому условие x = -1/98 не существует на нашем отрезке.
Теперь мы можем проанализировать поведение функции. Так как производная положительна во всей области определения функции (y' > 0), это означает, что функция возрастает на всем отрезке [0;+бесконечность].
То есть, у функции нет наименьшего значения, так как она будет продолжать возрастать по мере увеличения x.
Поскольку мы рассматриваем луч [0;+бесконечность], самое большое значение функции будет в пределе x -> +бесконечность.
На этом отрезке, значение x^2 будет доминировать над значением x/49. Таким образом, предельное значение функции будет определяться x^2:
lim (x -> +бесконечность) x^2 = +бесконечность
Итак, наименьшего значения функции нет, а самое большое значение будет равно +бесконечность.
Ответ:
Наименьшего значения функции нет, а самое большое значение функции равно +бесконечность.