Алгебра 29.04.20, до 30.04.20 до 19-00.
Мария Ивановна, высококлассный преподаватель английского языка, занимается
репетиторством со школьниками и студентами. Стоимость одного часа (60 мин) урока
Марии Ивановны – 2 тыс. рублей (после вычета всех налогов). Помимо доходов от
репетиторства у нее есть постоянный доход от инвестиционной деятельности, который
составляет 30 тыс. рублей в месяц. Выходные дни Мария Ивановна полностью посвящает
семье и не работает. Мария Ивановна очень дисциплинированная и строго следит за
распределением своего времени и доходов. В рабочие дни, которых в каждом месяце ровно
20, девять часов в сутки она спит, некоторое время работает, часть времени посвящает
своему хобби – вязанию, а остальное время тратит на отдых и домашние дела. Занятие
хобби она считает важной составляющей своей жизни, поэтому если в день она работает
часов, то на вязание обязательно потратит 2 часов. Вязанные вещи она не продает, а дарит
друзьям, знакомым и отдает нуждающимся. Помимо этого, Мария Ивановна является
активным благотворителем и перечисляет деньги в фонд больным детям. Каждый
рабочий день она откладывает на благотворительность ровно /3 тыс. рублей, если в этот
день на отдых и домашние дела она потратила всего часов. На все бытовые расходы,
хобби и ведение домашнего хозяйства (кроме расходов на благотворительность) Мария
Ивановна тратит 60 тыс. рублей в месяц, других расходов у нее нет. Конечно, Мария
Ивановна очень любит отдыхать и заниматься домашними делами, но ей приходится
работать, и каждый рабочий день она сама решает, сколько уроков с учениками ей сегодня
проводить.
(а) Какую максимальную сумму денег может ежемесячно перечислять Мария Ивановна на
благотворительность?
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
=
(
n
0
)
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
⋯
+
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
⋯
+
(
n
n
)
b
n
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n
где
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
C
n
k
{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты,
n
n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.