Question

А) Решить уравнение:
2sin(x+π6)−2√3cos^2x=cosx–2√3.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π2; − π]

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с этим уравнением.

а) Для начала, мы можем привести уравнение к более удобному виду, используя тригонометрические тождества.

Используем формулу sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b):

2sin(x+π/6) - 2√3cos^2x = cosx - 2√3

2(sin(x)cos(π/6) + cos(x)sin(π/6)) - 2√3cos^2x = cosx - 2√3

2(sin(x)√3/2 + cos(x)1/2) - 2√3cos^2x = cosx - 2√3

Упростим это выражение:

√3sin(x) + cos(x) - 2√3cos^2x = cosx - 2√3

Теперь сгруппируем все синусы и косинусы:

√3sin(x) + 2√3cos^2x - cos(x) = 2√3

b) Теперь перенесем все термы на левую сторону уравнения:

√3sin(x) + 2√3cos^2x - cos(x) - 2√3 = 0

или

√3sin(x) - cos(x) + 2√3(cos^2x - 1) = 0

Мы знаем, что sin(x) = cos(π/2 - x), поэтому можем заменить sin(x) в уравнении:

√3cos(π/2 - x) - cos(x) + 2√3(cos^2x - 1) = 0

После упрощения получим:

√3cos(π/2 - x) - cos(x) + 2√3cos^2x - 2√3 = 0

Сгруппируем косинусы:

√3cos(π/2 - x) - cos(x) = -2√3(1 - cos^2x)

Мы знаем, что cos(π/2 - x) = sin(x), поэтому можем заменить в уравнении:

√3sin(x) - cos(x) = -2√3(1 - cos^2x)

Теперь, возводим cos(x) в квадрат:

√3sin(x) - cos(x) = -2√3 + 2√3cos^2x

√3sin(x) - cos(x) + 2√3 - 2√3cos^2x = 0

Финальное уравнение:

√3sin(x) - cos(x) + 2√3(1 - cos^2x) = 0

Теперь, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы для решения этой задачи. Но для наглядности и простоты, я рекомендую применить графический метод примерно на отрезке [-5π/2; -π], чтобы определить корни уравнения.