Question

Довести, що сума двох додатних нескоротних дробів дорівнює цілому числу лише в тому випадку, коли знаменники цих дробів рівні між собою.

Answer 1

Объяснение:

пусть a/b и с/d несократимые дроби

рассмотрим два случая

1) при b=d

a/b+с/d=a/b+с/b=(a+с)/b может быть целым числом

например 1/2+1/2=2/2=1

2) пусть a/b и с/d несократимые дроби и b не равно d

тогда

a/b+с/d=(ad+bc)/(bd) предположим что  эта дробь является целым числом

тогда (ad+bc)=bdn, где n некоторое натуральное число

тогда ad=bdn-bc=b(dn-c)

ad=b(dn-c) ⇒ так как a не делится на b по условию то ⇒ d делится на b

тогда d=bm ,  где m некоторое натуральное число

тогда исходная сумма будет иметь вид

a/b+с/bm=(am+c)/bm и если это целое число то

am+c=bmk, где k некоторое натуральное число

c=bmk-am=m(bk-a) ⇒ с делится на m но если так то дробь с/d=c/bm сократима  что противоречит условию задачи

⇒  a/b+с/d  при b не равно d  не является и не может быть целым числом

⇒ сумма двух положительных несократимых дробей равна целому числу только в том случае, когда знаменатели этих дробей равны между собой.