Доведіть, що функція y= -3x+sin2x спадає на множині R. ( ДАЮ)
Объяснение:
y ' = ( -3x +sin2x ) ' = (-3x) ' + (sin2x) ' = - 3 +cos2x*(2x) ' = - 3 +2cos2x <0
действительно :
-1 ≤ cos2x ≤ 1 ||*2 ; -2 ≤ 2cos2x ≤ 2 || +( -3) ; - 5 ≤ - 3 + 2cos2x ≤ -1
y ' < 0 для всех x ∈ R означает что данная функция убывает на множестве R .
Интересно можно доказать прямо по определению ? x₂ > x₁ y₂ < y₁
если x₂ > x₁ то -3x₂ + sin2x₂ < - 3x₁ + sin2x₁
производная функции равна -3+2сosx
т.к. I 2сosxI≤2
-5 ≤-3+2сosx≤-1
и т.к. производная на множестве R отрицательна, то функция на этом множестве убывает. Доказано.