ДАЮ 100! БАЛОВ Знайдіть проміжки зростання та спадання функції 1) у=2х³+6х²=3 2) f(x)=2+5x³+x 3) f(x)=3x+x²/4+x Доведіть, що функція спадає f(x)=4-2x+1/2x²-1/3x³ При яких значеннях а функція f(x) зростає на R f(x)=ax²+3x+5
на отрезка [-2;0] функция убывает на (-∞-2] и[0;+∞) функция возрастает
2) f(x)=2+5x³+x
f'(x)=10x²+1 производная на всей области определения положительна,значит функция возрастает на (-∞;+∞)
3) f(x)=3x+x²/4+x
f'(x)=3+x/2+1=4+x/2≥0, при х≥-8 функция возрастает, при х≤8 убывает.
если условие со скобками, тогда f'(x)=((3x+x²)/(4+x))'=
(8x+2x²-3x-x²)/(4+x)²=(x²+5x)/(4+x)²≥0 решим методом интервалов.
___-5-40
+ - - + возрастает на (-∞;-5] и [0;+∞] убывает функция на промежутках [-5;-4) и(-4;0]
2. Найдем производную от f(x)=4-2x+1/2x²-1/3x³; f'(x)=-2+x-x²≥0
-(x²-x+2); т.к. x²-x+2>0 при любом значении х, что следует из того, что дискриминант 1-8=-7- отрицателен, а первый коэффициент 1 положителен, значит, -(x²-x+2)<0 при любом значении х, т.е. на R функция убывает. Доказано.
3. это уравнение параболы, абсцисса ее вершины равна -1.5/а, как известно, в зависимости от направления ветвей параболы будет зависеть возрастание и убывание функции, но на R она не возрастает, если же а=0, то f(x)=3x+5 -линейная функция, т.к. ее угловой коэффициент положителен. то функция возрастает на всей действительной оси.
A) y = x², x ≥ 0 Возьмём две точки x₁ и x₂, такие, что x₁ > x₂ y(x₁) = x₁² y(x₂) = x₂² Найдём разность значений функции: y(x₁) - y(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) Т.к. x ≥ 0, то x₁ + x₂ > 0, т.к. x₁ > x₂, то x₁ - x₂ > 0. Значит, y(x₁) - y(x₁) > 0, отсюда делаем вывод, что функция возрастающая (при увеличении аргумента увеличивается и значение функции).
b) y = x², x ≤ 0 Делаем то же самое и получаем: y(x₁) - y(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) Т.к. x ≤ 0, то x₁ + x₂ < 0, т.к. x₁ > x₂, то x₁ - x₂ > 0. Значит, y(x₁) - y(x₂) < 0, отсюда делаем вывод, что функция убывающая (при увеличении аргумента значение функции уменьшается).
Для упрощения заменим tgx на, например, а. Неравенство примет вид: (a-1)*(a^2 - (1/4)*a - 3/4) <= 0 Найдём нули (и одновременно точки смены знака) левой части: Сначала рассматриваем первую скобку: a - 1 = 0 a = 1 Теперь вторую скобку: a^2 - (1/4)*a - 3/4 = 0 Обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант: D = (1/4)^2 - 4 *(-3/4) = 1/16 + 3 = 1/16 + 48/16 = 49/16 = (7/4)^2 Теперь корни: a1,2 = (1/4 +- 7/4) / 2 = {1; -3/4} Итого у нас есть обычный корень -3/4 и корень кратности два -1 - то есть в этой точке функция будет нулевой, но знак менять не будет. Наносим их на числовую ось, подставляем любое некое значение (пусть будет a=0 и ищем знаки функции): (0-1)*(0^2 - (1/4)*0 - 3/4) = -1*(-3/4) = 3/4 При а = 0, т.е. на интервале от -3/4 до 1, функция положительна. Значит слева от -3/4 она отрицательна (в этой точке знак меняется), а справа от 1 положительна (не меняется). Возвращаемся к неравенству. Надо найти, где всё это меньше либо равно нулю. Это интервал от минус бесконечности до -3/4 включительно и отдельно точка 1. Но это мы нашли интервалы для нашей замены a. А теперь вернёмся к х и проведём обратную замену. Получается совокупность неравенства и уравнения: tg x <= -3/4 tg x = 1 Решаем неравенство: Тут можно нарисовать единичную окружность и отложить эту область - чтобы тангенс был отрицательным, синус и косинус должны иметь разный знак (значит угол во второй либо четвёртой четверти), абсолютное значение синуса должен быть 3/4 от косинуса или менее. На единичной окружности это будет выглядеть как заштрихованная область. В письменном виде это можно выразить как: х = [arctg -3/4; П] или [arctg -3/4; 2П]. Можно найти значения угла с таким тангенсом, но оно явно не обычное, нужны таблицы Брадисса или калькуляторы. Решаем уравнение: tg x = 1 x = arctg 1 = П/4 + ПN, где N = 0,1,2... На единичной окружности это две точки друг напротив друга. Общим решением будет совокупность решений неравенства (дающая два сектора окружности) и уравнения (дающая две точки). Спрашивайте, если что непонятно.
1) у=2х³+6х²=3
у'=6х²+12х=6х*(х+2)≥0
-20
+ - +
на отрезка [-2;0] функция убывает на (-∞-2] и[0;+∞) функция возрастает
2) f(x)=2+5x³+x
f'(x)=10x²+1 производная на всей области определения положительна,значит функция возрастает на (-∞;+∞)
3) f(x)=3x+x²/4+x
f'(x)=3+x/2+1=4+x/2≥0, при х≥-8 функция возрастает, при х≤8 убывает.
если условие со скобками, тогда f'(x)=((3x+x²)/(4+x))'=
(8x+2x²-3x-x²)/(4+x)²=(x²+5x)/(4+x)²≥0 решим методом интервалов.
___-5-40
+ - - + возрастает на (-∞;-5] и [0;+∞] убывает функция на промежутках [-5;-4) и(-4;0]
2. Найдем производную от f(x)=4-2x+1/2x²-1/3x³; f'(x)=-2+x-x²≥0
-(x²-x+2); т.к. x²-x+2>0 при любом значении х, что следует из того, что дискриминант 1-8=-7- отрицателен, а первый коэффициент 1 положителен, значит, -(x²-x+2)<0 при любом значении х, т.е. на R функция убывает. Доказано.
3. это уравнение параболы, абсцисса ее вершины равна -1.5/а, как известно, в зависимости от направления ветвей параболы будет зависеть возрастание и убывание функции, но на R она не возрастает, если же а=0, то f(x)=3x+5 -линейная функция, т.к. ее угловой коэффициент положителен. то функция возрастает на всей действительной оси.
ответ при а=0