1) Тут две особые точки, в которых модули равны 0: x = -2 и x = 0. При x < -2 будет |x+2| = -x-2; |x| = -x -x - 2 - x(-x) <= 0 x^2 - x - 2 <= 0 (x + 1)(x - 2) <= 0 Решение неравенства: x ∈ [-1; 2] Но по условию x < -2, поэтому на этом промежутке решений нет. При x ∈ [-2; 0) будет |x+2| = x+2; |x| = -x x + 2 - x(-x) <= 0 x^2 + x + 2 <= 0 Выделим полный квадрат x^2 + 2*x*1/2 + (1/2)^2 - (1/2)^2 + 2 <= 0 (x + 1/2)^2 + 7/4 <= 0 Сумма двух неотрицательных чисел не может быть не положительной. На этом промежутке решений тоже нет. При x >= 0 будет |x+2| = x+2; |x| = x x + 2 - x*x <= 0 -x^2 + x + 2 <= 0 Поменяем знаки в левой части, тогда поменяется и знак неравенства. x^2 - x - 2 >= 0 (x + 1)(x - 2) >= 0 Решение неравенства: x ∈ (-oo; -1] U [2; +oo) Но по условию x >= 0 ответ: x ∈ [2; +oo)
2) 3x - |x+10| - |2-x| <= -6 Тут тоже две особые точки: x = -1 и x = 2 При x < -10 будет |x+10| = -x-10; |2-x| = 2-x 3x - (-x - 10) - (2 - x) <= -6 3x + x + 10 - 2 + x + 6 <= 0 5x + 14 <= 0 x <= -14/5 = -2 4/5 Но по условию x < -10 Решение: x < -10 При x ∈ [-10; 2) будет |x+10| = x +10; |2-x| = 2-x 3x - (x+10) - (2-x) <= -6 3x - x - 10 - 2 + x + 6 <= 0 3x - 6 <= 0 x <= 6/3 = 2 Но по условию x ∈ [-10; 2) Решение: x ∈ [-10; 2) При x >= 2 будет |x+10| = x+10; |2-x| = x-2 3x - (x+10) - (x-2) <= -6 3x - x - 10 - x + 2 + 6 <= 0 x - 2 <= 0 x <= 2 Но по условию x >= 2 Решение: x = 2. ответ: x ∈ (-oo; 2]
3) 25x^2 - 4|8-5x| <= 80x - 64 Здесь одна особая точка x = 5/8. При x < 5/8 будет |8-5x| = 8-5x 25x^2 - 4(8-5x) <= 80x - 64 25x^2 - 32 + 20x - 80x + 64 <= 0 25x^2 - 60x + 32 <= 0 D/4 = 30^2 - 25*32 = 900 - 800 = 100 = 10^2 x1 = (30 - 10)/25 = 20/25 = 4/5 x2 = (30 + 10)/25 = 40/25 = 8/5 (5x - 4)(5x - 8) <= 0 x ∈ [4/5; 8/5] По условию x < 8/5 Решение: x ∈ [4/5; 8/5) При x >= 8/5 будет |8-5x| = 5x-8 25x^2 - 4(5x-8) <= 80x - 64 25x^2 - 20x + 32 - 80x + 64 <= 0 25x^2 - 100x + 96 <= 0 D/4 = 50^2 - 25*96 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2 x1 = (50 - 10)/25 = 40/25 = 8/5 x2 = (50 + 10)/25 = 60/25 = 12/5 x ∈ [8/5; 12/5] По условию x >= 8/5 Решение: x ∈ [8/5; 12/5] ответ: x ∈ [4/5; 12/5]
При x < -2 будет |x+2| = -x-2; |x| = -x
-x - 2 - x(-x) <= 0
x^2 - x - 2 <= 0
(x + 1)(x - 2) <= 0
Решение неравенства: x ∈ [-1; 2]
Но по условию x < -2, поэтому на этом промежутке решений нет.
При x ∈ [-2; 0) будет |x+2| = x+2; |x| = -x
x + 2 - x(-x) <= 0
x^2 + x + 2 <= 0
Выделим полный квадрат
x^2 + 2*x*1/2 + (1/2)^2 - (1/2)^2 + 2 <= 0
(x + 1/2)^2 + 7/4 <= 0
Сумма двух неотрицательных чисел не может быть не положительной.
На этом промежутке решений тоже нет.
При x >= 0 будет |x+2| = x+2; |x| = x
x + 2 - x*x <= 0
-x^2 + x + 2 <= 0
Поменяем знаки в левой части, тогда поменяется и знак неравенства.
x^2 - x - 2 >= 0
(x + 1)(x - 2) >= 0
Решение неравенства: x ∈ (-oo; -1] U [2; +oo)
Но по условию x >= 0
ответ: x ∈ [2; +oo)
2) 3x - |x+10| - |2-x| <= -6
Тут тоже две особые точки: x = -1 и x = 2
При x < -10 будет |x+10| = -x-10; |2-x| = 2-x
3x - (-x - 10) - (2 - x) <= -6
3x + x + 10 - 2 + x + 6 <= 0
5x + 14 <= 0
x <= -14/5 = -2 4/5
Но по условию x < -10
Решение: x < -10
При x ∈ [-10; 2) будет |x+10| = x +10; |2-x| = 2-x
3x - (x+10) - (2-x) <= -6
3x - x - 10 - 2 + x + 6 <= 0
3x - 6 <= 0
x <= 6/3 = 2
Но по условию x ∈ [-10; 2)
Решение: x ∈ [-10; 2)
При x >= 2 будет |x+10| = x+10; |2-x| = x-2
3x - (x+10) - (x-2) <= -6
3x - x - 10 - x + 2 + 6 <= 0
x - 2 <= 0
x <= 2
Но по условию x >= 2
Решение: x = 2.
ответ: x ∈ (-oo; 2]
3) 25x^2 - 4|8-5x| <= 80x - 64
Здесь одна особая точка x = 5/8.
При x < 5/8 будет |8-5x| = 8-5x
25x^2 - 4(8-5x) <= 80x - 64
25x^2 - 32 + 20x - 80x + 64 <= 0
25x^2 - 60x + 32 <= 0
D/4 = 30^2 - 25*32 = 900 - 800 = 100 = 10^2
x1 = (30 - 10)/25 = 20/25 = 4/5
x2 = (30 + 10)/25 = 40/25 = 8/5
(5x - 4)(5x - 8) <= 0
x ∈ [4/5; 8/5]
По условию x < 8/5
Решение: x ∈ [4/5; 8/5)
При x >= 8/5 будет |8-5x| = 5x-8
25x^2 - 4(5x-8) <= 80x - 64
25x^2 - 20x + 32 - 80x + 64 <= 0
25x^2 - 100x + 96 <= 0
D/4 = 50^2 - 25*96 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2
x1 = (50 - 10)/25 = 40/25 = 8/5
x2 = (50 + 10)/25 = 60/25 = 12/5
x ∈ [8/5; 12/5]
По условию x >= 8/5
Решение: x ∈ [8/5; 12/5]
ответ: x ∈ [4/5; 12/5]