Question

Докажите что сумма n нечётных последовательных чисел делится на n завтра сдавать

Answer 1

Сумма n нечетных последовательных чисел это арифмитеческая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2

$a_1=1; a_n=2n-1; d=2;\\ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n;\\ S_n=\frac{1+2n-1}{2}*n=n^2$

так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. Доказано

ОТКУДА МНЕ МОЖЕТ БЫТЬ ИЗВЕСТНО В КАКОМ КЛАССЕ УЧИШЬСЯ, ЕСЛИ ХАРАКТЕР ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДНЫЙ?

вариант 2 (вывод формулы "вручную")

S=1+3+5+7+..+(2n-1)

S=(2n-1)+(2n-3)+...+7+5+3+1;

2S=1+3+5+7+..+(2n-1)+(2n-1)+(2n-3)+...+7+5+3+1=(1+(2n-1))+(3+(2n-3))+...=n скобок в каждой сумма равна числу 2n=n*2n=2n^2 (два єн в квадрате)

S=n^2

так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. Доказано

вариант 3 (с использованием метода математической индукции)

Гипотеза. Ищем формулу

2*1-1=1=1=1^2

2*1-1+2*2-1=1+3=4=2^2

2*1-1+2*2-1+2*2-1=1+3+5=9=3^2

напрашивается формула 1+3+5+...+(2n-1)=n^2

Докажем методом математической индукции, что єто ИСТИННО.

База индукции n=1: 1=1^2 верно

Гипотеза индукции. Пусть при n=k: 1+3+5+...+(2k-1)=k^2

Индукционный переход. Докажем, что тогда утверждение истинно и при n=k+1

1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=используем гипотезу=k^2+(2k+1)=используем формулу квадрата двучлена=(k+1)^2, что и требовалось доказать

По принципу математической индукции 1+3+5+...+(2n-1)=n^2.

так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. Доказано

вариант4 (геометрический)

возьмем квадрат размерами 1*1 его площадь 1

возьмем достроем его 3 квадратами 1*1(их площадь 3*1*1=3), получится большой квадрат 2*2

(1+3=2*2)

возьмем достроим новый квадрат 5 квадратами 1*1(их площадь 5*1*1=5), получится большой квадрат 3*3

(1+3+5=)

и т.д.сумма площадей "маленьких n квадратов" равна площади большого квадрата n*n

1+3+5+...+(2n-1)=n^2

видим ,что так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. Доказано

вариант 5, разобьем сумму на подсуммы первый с последним, второй с предоследним, и т.д., если количевство нечетных чисел нечетно среднее слагаемое само по себе

1+2n-1=2n делится на n

3+2n-3=2n делится на n

...

n/2-1+n/2+1=n делится на n

и ("особое слагаемое")

n делится делится на n

Каждое из слагаемых делится на n, значит и вся сумма делится на n