Question

Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в любой точке M(x,y) кривой равен -x/y

Answer 1

Чтобы найти уравнение кривой, мы должны использовать информацию о ее угловом коэффициенте касательной в любой точке M(x, y). Нам нужно найти такую функцию, которая будет соответствовать этому условию.

Пусть уравнение кривой имеет вид y=f(x), где f(x) - функция, которая определяет кривую.
Тогда мы можем найти производную f'(x) для определения углового коэффициента касательной в каждой точке M(x, y) кривой.

Тогда формула для углового коэффициента касательной будет выглядеть так:
f'(x)=-x/y

Для дальнейшей работы с этим уравнением, давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на y:

y*f'(x)=-x

Теперь давайте проинтегрируем обе части уравнения по x:

∫ y*f'(x)dx=∫ -xdx

∫ y*d/dx[f(x)] dx=∫ -xdx

Так как производная функции f(x) по x это f'(x), то мы можем просто заменить y*f'(x) на f(x), и получим:

∫ f(x) dx=-∫ x dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения и получим:

F(x) = -1/2 * x^2 + C

где F(x) - интеграл от f(x), C - константа интегрирования.

Таким образом, уравнение кривой будет выглядеть как:

y = -1/2 * x^2 + C

Так как мы не имеем дополнительной информации о значении y при x=0 или других точках, то уравнение кривой будет иметь вид:

y = -1/2 * x^2 + C, где C - любая постоянная.