Question

Решите иррациональное уравнение:
a) √(3x-2)=5x-8
б) √(3x+1)=√(x+3)
в) x^2+√(x^2-x+9)=3+x
​

Answer 1

Добрый день! Давайте по порядку решим каждое из иррациональных уравнений.

а) Дано уравнение √(3x-2) = 5x-8.

1. Начнем с возведения обеих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(√(3x-2))^2 = (5x-8)^2.

2. Упростим полученное выражение:
3x-2 = (5x-8)^2.

3. Раскроем квадрат и упростим уравнение:
3x-2 = 25x^2 - 80x + 64.

4. Перенесем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
25x^2 - 83x + 66 = 0.

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-83)^2 - 4 * 25 * 66 = 6889 - 6600 = 289.

6. Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:
x₁ = (-(-83) + √289) / (2 * 25) = (83 + 17) / 50 = 100 / 50 = 2.
x₂ = (-(-83) - √289) / (2 * 25) = (83 - 17) / 50 = 66 / 50 = 1.320.

Ответ: уравнение имеет два корня x₁ = 2 и x₂ = 1.320.

б) Дано уравнение √(3x+1) = √(x+3).

1. Возводим обе части уравнения в квадрат:
(√(3x+1))^2 = (√(x+3))^2.

2. Продолжаем упрощение:
3x+1 = x+3.

3. Переносим все слагаемые влево и упрощаем уравнение:
2x = 2.

4. Делим обе части уравнения на 2:
x = 2/2.

5. Упрощаем и получаем окончательный ответ:
x = 1.

Ответ: уравнение имеет один корень x = 1.

в) Дано уравнение x^2 + √(x^2-x+9) = 3+x.

1. Начнем с избавления от корня во втором слагаемом:
√(x^2-x+9)^2 = (3+x)^2.

2. Упростим уравнение:
x^2 - x + 9 = 9 + 6x + x^2.

3. Распишем упрощенное уравнение и исключим x^2:
x^2 - x^2 - 6x + x + 9 - 9 = 0.

4. Упростим дальше и исключим x:
-5x = 0.

5. Делим обе части на -5:
x = 0.

Ответ: уравнение имеет один корень x = 0.

Вот все решения иррациональных уравнений. Если что-то не понятно, пожалуйста, не стесняйтесь задать дополнительные вопросы.