Question

Как решать кубические уравнения?

$x^3-2x^2+4=0$

Answer 1

$\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}}+\dfrac{2}{3}$

Объяснение:

Найдем дискриминант кубического уравнения:

$D=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$

У нас:

$a=1\\b=2\\c=0\\d=4$

Теперь это нужно посчитать:

$D=0-0-4\times8\times4-27\times 1\times16+0=-560$

Поскольку D<0, то уравнение имеет 1 вещественный корень.

Выделим полный куб из выражения.

Предварительно вспомним, что $(x-a)^3=x^3-3x^2a+3xa^2-x^3$.

У нас:

$2x^2=3x^2a\\a=\dfrac{2}{3}$

Тогда, учитывая, что $\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3=x^3-2x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{8}{27}$, получим:

$\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{8}{27}+4=0$

А теперь вынесем 4/3 за скобки:

$\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3-\dfrac{4}{3}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)-\dfrac{16}{27}+4=0\\\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^3-\dfrac{4}{3}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{92}{27}=0$

Теперь можно делать замену вида $t=x-\dfrac{2}{3}$.

Получим:

$t^3-\dfrac{4}{3}t+\dfrac{92}{27}=0$

Мы привели уравнение к виду, где отсутствует член со 2-ой степенью неизвестного. Первый этап выполнен.

Второй этап будет заключаться в сведении полученного уравнения к квадратному.

Выполним новую замену:

$t=\sqrt[3]{q}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{q}}$

Тогда получим:

$\left(\sqrt[3]{q}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{q}}\right)^3-\dfrac{4}{3}\left(\sqrt[3]{q}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{q}}\right)+\dfrac{92}{27}=0$

Посчитав это получим:

$729q^2+2484q+64=0$

Решив это уравнение через дискриминант получим:

$q_{1,2}=\dfrac{-46\pm6\sqrt{57}}{27}$

Берем один любой q.

Я возьму $\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}$.

Выполним обратную замену:

$t=\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}}$

Выполним вторую обратную замену:

$x=\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}+\dfrac{4}{9\sqrt[3]{\dfrac{-46+6\sqrt{57}}{27}}}+\dfrac{2}{3}\approx-1,1304$

Уравнение решено!