Question

Вопрос по тригонометрии. Имеем уравнение : 4sin^2x = tgx Заменим tgx 4sin^2x = sinx / cosx Вопрос: Почему нельзя сделать так - 4sin^2x = sinx / cosx | *cosx 4sin^2x * cosx= sinx | : sinx (4sin^2x * cosx) / sinx = 0 4sinx*cosx = 0 | :4 И получается две серии корней sinx=0 или cosx=0 В чём ошибка? Почему так нельзя делать?

Answer 1

$4\sin^2x = \mathrm{tg}x$

Тангенс определен при $\cos x\neq 0\Rightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$4\sin^2x - \mathrm{tg}x=0$

$4\sin^2x - \dfrac{\sin x}{\cos x} =0$

$\sin x\left(4\sin x - \dfrac{1}{\cos x} \right)=0$

$\sin x\cdot \dfrac{4\sin x\cos x-1}{\cos x} =0$

$\sin x\cdot \dfrac{2\sin 2x-1}{\cos x} =0$

$\left[\begin{array}{l} \sin x =0\\ 2\sin 2x-1=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \sin x =0\\ \sin 2x=\dfrac{1}{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x =\pi n \\ 2x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x =\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\\ x=(-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}\end{array}$

ответ: $\pi n;\ (-1)^k\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\ n, k\in\mathbb{Z}$

По поводу предлагаемого решения: домножить на cosx можно, поскольку это выражение не может быть нулевым. А вот разделить на sinx просто так нельзя, потому что мы потеряем корни. Когда мы делим на некоторое выражение, мы полагаем что оно не равно нулю. Но здесь при подстановке sinx=0 в исходное уравнение мы получаем верное равенство. И, наконец, еще: вообще при делении sinx на sinx получается 1, а не 0, но мы уже выяснили, что этого вовсе делать не надо.