Question

По известной матрице линейного оператора в базисе , найти Ag в базисе .

Answer 1

Чтобы найти матрицу линейного оператора A в другом базисе, мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти матрицу перехода P от старого базиса к новому базису.
Шаг 2: Найти обратную матрицу P⁻¹ к матрице перехода P.
Шаг 3: Вычислить матрицу нового линейного оператора Ag в новом базисе с использованием формулы:
Ag = P⁻¹ * A * P.

Давайте выполним эти шаги для данного вопроса.

Шаг 1: Найти матрицу перехода P от базиса {v1, v2, v3} к базису {u1, u2, u3}.
Поскольку нам дано, что базис {v1, v2, v3} состоит из столбцов стандартного базиса, а базис {u1, u2, u3} состоит из столбцов базисного представления, мы можем составить матрицу перехода P, в которой столбцы матрицы являются координатами векторов базиса одного базиса в другом базисе.

P = [ [1, 2, 1], [1, 1, -1], [2, 3, 0] ]

Шаг 2: Найти обратную матрицу P⁻¹ к матрице перехода P.
Чтобы найти обратную матрицу P⁻¹, мы можем использовать формулу:
P⁻¹ = (1/det(P)) * adj(P),
где det(P) - определитель матрицы P, а adj(P) - матрица алгебраических дополнений для матрицы P.

Найдем определитель матрицы P:
det(P) = 1*(1*0-(-1)*3) - 2*(1*0-(-1)*2) + 1*(1*3-1*2) = -3-(-4) + 1 = -2.

Теперь найдем матрицу алгебраических дополнений adj(P) для матрицы P:
adj(P) = [ [(1*0-(-1)*3), (-1*3-(-1)*2), (1*3-1*2)],
[(-2*0-1*3), (1*3-(-2)*2), (-2*3-1*2)],
[(2*0-1*1), (-1*3-(2)*1), (2*3-1*2)] ]

= [ [3, -1, 1],
[-3, 7, -8],
[-1, -5, 4] ].

Теперь, используя формулу P⁻¹ = (1/det(P)) * adj(P), найдем обратную матрицу P⁻¹:
P⁻¹ = (-1/2) * [ [3, -1, 1],
[-3, 7, -8],
[-1, -5, 4] ]

= [ [-3/2, 1/2, -1/2],
[3/2, -7/2, 4],
[1/2, 5/2, -2] ].

Шаг 3: Вычислить матрицу нового линейного оператора Ag в базисе {u1, u2, u3} с использованием формулы Ag = P⁻¹ * A * P.
Нам дана матрица линейного оператора A в базисе {v1, v2, v3}:
A = [ [1, 2, 3], [2, 1, 4], [-1, 0, 1] ].

Теперь, используя формулу Ag = P⁻¹ * A * P, найдем матрицу нового линейного оператора Ag в базисе {u1, u2, u3}:
Ag = [ [-3/2, 1/2, -1/2],
[3/2, -7/2, 4],
[1/2, 5/2, -2] ] * [ [1, 2, 3], [2, 1, 4], [-1, 0, 1] ] * [ [1, 2, 1], [1, 1, -1], [2, 3, 0] ]

= [ [(-3/2)*1 + (1/2)*2 + (-1/2)*(-1), (-3/2)*2 + (1/2)*1 + (-1/2)*0, (-3/2)*3 + (1/2)*4 + (-1/2)*1],
[(3/2)*1 + (-7/2)*2 + 4*2, (3/2)*2 + (-7/2)*1 + 4*3, (3/2)*3 + (-7/2)*4 + 4*0],
[(1/2)*1 + (5/2)*2 + (-2)*2, (1/2)*2 + (5/2)*1 + (-2)*3, (1/2)*3 + (5/2)*4 + (-2)*1] ]

= [ [-4/2 + 1/2 + 1/2, -6/2 + 1/2, -9/2 + 2 + (-1/2)],
[3/2 - 7/2, 6/2 - 7/2 + 0, 9/2 - 14 + 0],
[1/2 + 5/2 -4, 2/2 + 5/2 - 6, 3/2 + 10 - 2] ]

= [ [0, -5/2, -9/2],
[-4/2, -1/2, -5/2],
[2/2, 1/2, 13/2] ].

Таким образом, матрица нового линейного оператора Ag в базисе {u1, u2, u3} равна:
Ag = [ [0, -5/2, -9/2],
[-4/2, -1/2, -5/2],
[2/2, 1/2, 13/2] ].

Это и будет искомым ответом.