пустьвся работа равна 1, х часов работает один первый экскаватор, тогда второй работает один х-4 часов, производительность первого экскаватора 1/х, а производительность второго 1/(х-4), вместе они выполнят всю работу за 3 часа 45 минут или 15/4 часа. первый выполнит 15/4*(1/х)=15/(4*х) часть всей работы, а второй выполнит 15/4*(1/(х-4))=15/(4*х*(х-4)) часть работы, а вместе они выполнят всю работу, которая равна 1. получаем уравнение:
15/(4*х)+15/(4*х*(х-4))=1 после преобразований получим уравнение
15*(х-4)+15*х=4*х*(х-4)
15х-60+15х=4х²-16х
4х²-46х+60=0
2х²-23х+30=0
D=23²-4*2*30=529-240=289=17²
х₁=-((-23)+17)/(2*2)=6/4 - не удовлетворяет условию задачи
Отметим на числовой прямой точки, дающие при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, дающие при делении на 18 остаток 13-синим. Каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?
Очевидно : n₁ =12q₁ + 5 ( отмечены красным карандашом); n₂ =18q₂ + 13 (отмечены синим карандашом ) . Расстояние между этими точками будет: d=| n₁ - n₂ | = |12q₁ + 5 -( 18q₂ + 13) | = | 6(2q₁ -3q₂) - 8 | . Значение выражения (2q₁ -3q₂) должна быть не отрицательной (d ≥0) если : 2q₁ -3q₂ =0 ⇒ d =8 ; --- 2q₁ -3q₂ =1 ⇒ d =2 ; --- 2q₁ -3q₂ =2 ⇒ d =4 ; 2q₁ -3q₂ =3 ⇒ d =10 ; и т.д. расстояние увеличивается. Получается d =dmin=2 , если уравнение 2q₁ -3q₂ =1 будет иметь целочисленное решение и оно имеет. Действительно: 2q₁ -3q₂ =1 ⇔2q₁ =3q₂+1 ⇔q₁ =q₂ +(q₂+1)/2 , замена (q₂+1)/2 =t ∈ Z ⇒ q₂ =2t -1 и q₁ =q₂ +(q₂+1)/2= 2t -1 +t =3t -1. {q₁ =3t - 1 ; q₂ =2t -1 . Соответственно : { n₁ =12q₁ + 5 =36t -7 ; n₂ =18q₂ + 13 =36t -5 ; t ∈Z. Бесконечно множество точек : например: t=-1⇒n₁ = - 43 ; n₂ = - 41 ; t=0 ⇒n₁ = -7 ; n₂ = - 5 ; t=1 ⇒n₁ = 29 ; n₂ = 31
ответ : d min =2 .
* * * между точками n₁ =36t -7 и n₂ =36t -5 ; t ∈Z * * *
пустьвся работа равна 1, х часов работает один первый экскаватор, тогда второй работает один х-4 часов, производительность первого экскаватора 1/х, а производительность второго 1/(х-4), вместе они выполнят всю работу за 3 часа 45 минут или 15/4 часа. первый выполнит 15/4*(1/х)=15/(4*х) часть всей работы, а второй выполнит 15/4*(1/(х-4))=15/(4*х*(х-4)) часть работы, а вместе они выполнят всю работу, которая равна 1. получаем уравнение:
15/(4*х)+15/(4*х*(х-4))=1 после преобразований получим уравнение
15*(х-4)+15*х=4*х*(х-4)
15х-60+15х=4х²-16х
4х²-46х+60=0
2х²-23х+30=0
D=23²-4*2*30=529-240=289=17²
х₁=-((-23)+17)/(2*2)=6/4 - не удовлетворяет условию задачи
х₂=-(-23-17)/(2*2)=40/4=10
10ч - выполнит всю работу первый экскаватор,
10-4=6ч - выполнит всю работу второй экскаватор
ответ: 10ч и 6ч