Question

Задание прикреплено картинкой. Решение А есть. Нужно Б. Все прикреплено.

Answer 1

$8sin^2x + 2\sqrt{3}cosx + 1 = 0\\8(1-cos^2x) + 2\sqrt{3}cosx + 1 = 0\\8 - 8cos^2x + 2\sqrt{3}cosx + 1 = 0\\8cos^2x - 2\sqrt{3}cosx - 9 = 0\\\frac{D}{4} = 3 + 72 = 75 = (5\sqrt{3})^2\\cosx = \frac{\sqrt{3}\pm5\sqrt{3}}{8};\\$

Так как функция косинус по модулю не превосходит единицы в поле действительных чисел, то выбираем $cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Далее решаем это уравнение:

$x = \pm arccos(\frac{-\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k\\x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$

По условию нужно найти корни на промежутке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$.

Это можно сделать несколькими например, с неравенства:

$-\frac{7\pi}{2} \leq \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq-2\pi\\-21 \leq \pm 5 + 12k \leq -12$

Рассмотрим случай, когда 5 имеет знак "плюс":

$-21 \leq 5 + 12k \leq -12\\-26 \leq 12k \leq -17\\-\frac{13}{6} \leq k \leq -\frac{17}{12}$

Очевидно, что из целых k подходит k = -2.

Теперь рассмотрим случай, когда 5 имеет знак "минус":

$-21 \leq -5 + 12k \leq -12\\-16 \leq 12k \leq -7\\-\frac{4}{3} \leq k \leq -\frac{7}{12}$

k = -1 нам подходит.

Теперь подставляем полученные k в серию корней:

1) Когда плюс - k = -2, т. е. $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19}{6}\pi$

2) Когда минус - k = -1, т. е. $x = -\frac{5\pi}{6} -2\pi = -\frac{17\pi}{6}$

ответ: а) $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$

           б) $-\frac{17\pi}{6}\\-\frac{19\pi}{6}$