Question

Найдите наименьшее значение выражения с использованием производной √( (x-3)² +4 ) + √(x² +y²) + √( (y-3)² +9 )

Answer 1

√61

Объяснение:

Найдём производную относительно x (то есть представим выражение как функцию z с параметром y):

$z'=\dfrac{1}{2\sqrt{(x-3)^2+4}}\cdot((x-3)^2+4)'+\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)'=\\=\dfrac{x-3}{\sqrt{(x-3)^2+4}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Аналогично найдём производную относительно y:

$z'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)'+\dfrac{1}{2\sqrt{(y-3)^2+9}}\cdot ((y-3)^2+9)'=\\=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{y-3}{\sqrt{(y-3)^2+9}}$

Найдём точки экстремума. Для этого обе производные должны быть одновременно равны нулю:

$\begin{cases}\dfrac{x-3}{\sqrt{(x-3)^2+4}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,\\\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{y-3}{\sqrt{(y-3)^2+9}}=0\end{cases}$

Выразим y² из первого уравнения:

$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\dfrac{x-3}{\sqrt{(x-3)^2+4}}\\\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\dfrac{x-3}{x\sqrt{(x-3)^2+4}}\\\sqrt{x^2+y^2}=-\dfrac{x\sqrt{(x-3)^2+4}}{x-3}$

Левая часть положительна (нулём быть не может, так как она была в знаменателе), значит, и правая часть положительна:

$-\dfrac{x\sqrt{(x-3)^2+4}}{x-3}0|:-\sqrt{(x-3)^2+4}$

$x^2+y^2=\dfrac{x^2((x-3)^2+4)}{(x-3)^2}\\y^2=\dfrac{x^2(x-3)^2+4x^2}{(x-3)^2}-x^2\\y^2=\dfrac{4x^2}{(x-3)^2}\Rightarrow y=\pm\dfrac{2x}{x-3}$

Выразим x² из второго уравнения (уравнения практически одинаковые, поэтому некоторые преобразования я опущу):

$\sqrt{x^2+y^2}=-\dfrac{y\sqrt{(y-3)^2+9}}{y-3}0\Rightarrow 0$

Подставим $y=\dfrac{2x}{x-3}$:

$x^2=\dfrac{9\cdot\frac{4x^2}{(x-3)^2}}{(\frac{2x}{x-3}-3)^2}\\x^2=\dfrac{36x^2}{(x-3)^2(\frac{2x}{x-3}-3)^2}|:x^2\neq 0\\1=\dfrac{36}{(2x-3(x-3))^2}\\(2x-3x+9)^2=36\\(9-x)^2=36\\\displaystyle \left [ {{x-9=6} \atop {x-9=-6}} \right. \left [ {{x=15} \atop {x=3}} \right.$

Так как 0 < x < 3, в данном случае корней нет.

Подставим  $y=-\dfrac{2x}{x-3}$:

$x^2=\dfrac{9\cdot\frac{4x^2}{(x-3)^2}}{(-\frac{2x}{x-3}-3)^2}\\x^2=\dfrac{36x^2}{(x-3)^2(\frac{2x}{x-3}+3)^2}|:x^2\neq 0\\1=\dfrac{36}{(2x+3(x-3))^2}\\(2x+3x-9)^2=36\\(5x-9)^2=36\\\displaystyle\left [ {{5x-9=6} \atop {5x-9=-6}} \right. \left [ {{x=3} \atop {x=\frac{3}{5}}} \right.$

Так как 0 < x < 3, подходит только один корень $x=\dfrac{3}{5}$.

$y=-\dfrac{2\cdot \frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-3}=\dfrac{\frac{6}{5}}{\frac{12}{5}}=\dfrac{1}{2}$ — удовлетворяет условию 0 < y < 3.

$\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{2}\right)$ — точка экстремума.

Исследуем знаки производной относительно x при $y=\dfrac{1}{2}$. При $x$, например, при $x=\dfrac{1}{2}$, производная имеет знак:

$\dfrac{\frac{1}{2}-3}{\sqrt{(\frac{1}{2}-3)^2+4}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}=\dfrac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{\frac{25}{4}+4}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=-\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{5}{\sqrt{41}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\-\dfrac{5}{\sqrt{41}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vee 0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vee\dfrac{5}{\sqrt{41}}\\\dfrac{1}{2}\vee\dfrac{25}{41}\\41$

Производная имеет знак минус. При $x\dfrac{3}{5}$, например, при x = 1, производная имеет знак:

$\dfrac{1-3}{\sqrt{(1-3)^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=-\dfrac{2}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\vee 0\\\dfrac{2}{\sqrt{5}}\vee \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{4}{5} \dfrac{1}{2}$

Производная имеет знак плюс. Значит, $x=\dfrac{3}{5}$ — точка минимума.

Аналогично исследуем знаки производной относительно y при $x=\dfrac{3}{5}$. При $y$, например, при $y=\dfrac{1}{4}$, производная имеет знак:

$\dfrac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{1}{16}}}+\dfrac{\frac{1}{4}-3}{\sqrt{(\frac{1}{4}-3)^2+9}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{13}{20}}-\dfrac{\frac{11}{4}}{\frac{\sqrt{265}}{4}}=\dfrac{5}{13}-\dfrac{11}{\sqrt{265}}\vee 0\\\dfrac{5}{13}\vee \dfrac{11}{\sqrt{265}}\\\dfrac{25}{169}< \dfrac{121}{265}$

Производная имеет знак минус. При $y\dfrac{1}{2}$, например, при y = 1, производная имеет знак:

$\dfrac{1}{\sqrt{\frac{9}{25}+1}}+\dfrac{1-3}{\sqrt{(1-3)^2+9}}=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{34}}{5}}-\dfrac{2}{\sqrt{13}}=\dfrac{5}{\sqrt{34}}-\dfrac{2}{\sqrt{13}}\vee 0\\\dfrac{5}{\sqrt{34}}\vee\dfrac{2}{\sqrt{13}}\\\dfrac{25}{34}\dfrac{4}{13}$

Производная имеет знак плюс. Значит, $y=\dfrac{1}{2}$ — точка минимума.

Значит, $\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{2}\right)$ — точка минимума всей функции. Значение выражения в данной точке равно:

$\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}-3\right)^2+4}+\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-3\right)^2+9}=\\=\sqrt{\dfrac{244}{25}}+\sqrt{\dfrac{61}{100}}+\sqrt{\dfrac{61}{4}}=\dfrac{2\sqrt{61}}{5}+\dfrac{\sqrt{61}}{10}+\dfrac{\sqrt{61}}{2}=\sqrt{61}$