Question

Вычислить интеграл: R

⁰|¹

(4x + 5
)/(x
²+ 3x + 2
)dx​

Answer 1

$\int\limits^1_0 {\frac{4x+5}{x^2+3x+2} } \, dx =$

выделяем полный квадрат:

$x^2+3x+2=x^2+2\cdot x \cdot \frac{3}{2} +(\frac{3}{2})^2 -(\frac{3}{2})^2 +2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$

$\int\limits^1_0 {\frac{4x+5}{(x+\frac{3}{2}) ^2+\frac{1}{4} } } \, dx =$

замена переменной:

$x+\frac{3}{2} =t$

$x=t-\frac{3}{2}$

$dx=dx$

$x=0$   ⇒     $t=\frac{3}{2}$

$x=1$   ⇒     $t=\frac{5}{2}$

$\int\limits^1_0 {\frac{4x+5}{(x+\frac{3}{2}) ^2-\frac{1}{4} } } \, dx =\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } {\frac{4\cdot (t-\frac{3}{2})+5 }{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt =\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } {\frac{4t-1 }{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt =\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } {\frac{4t}{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt -\int\limits^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2}} {\frac{1}{t^2-\frac{1}{4} } } \, dt =$

формулы   $\int {\frac{du}{u} } \,=ln|u|$      и      $\int {\frac{du}{u^2-a^2} } \,=\frac{1}{2a} ln|\frac{u-a}{u+a} |$

$=2ln|t-\frac{1}{4}| ^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2} } -\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2} }(ln|\frac{t-\frac{1}{2} }{t+\frac{1}{2} } |) ^{\frac{5}{2} }_{\frac{3}{2}}=$

$=2ln|\frac{25}{4}-\frac{1}{4}|-2ln|\frac{9}{4}-\frac{1}{4}| -\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2} } ln |\frac{\frac{5}{2}-\frac{1}{2} }{\frac{5}{2}+\frac{1}{2} }|+\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2} } ln |\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} }{\frac{3}{2}+\frac{1}{2} }|=2ln6-2ln2-ln\frac{2}{6} +ln\frac{1}{2}=\\\\=2ln3+ln\frac{3}{4}=2ln3+ln3-ln4=3ln3-2ln2$

Answer 2

Вычислить интеграл $\displaystyle \int^{1}_{0}{\frac{4x+5}{x^{2} + 3x + 2} }\, dx$