Question

Докажите неравенствa

1) a²+b² ≥ 2(a+b-1)

2) 2a²+b²+c² ≥ 2a(b+c)

Answer 1

На фото

Объяснение:

Квадрат выражения всегда (кроме комплексных чисел) ≥ 0

Answer 2

1)

$a^2+b^2\geq 2(a+b-1)$

Раскрываем  скобки

$a^2+b^2\geq 2a+2b-2$

Переносим все в левую часть

$2=1+1\\a^2-2a+1+b^2-2b+1\geq 0\\(a-1)^2+(b-1)^2\geq 0$

Рассмотрим слагаемые отдельно друг от друга

$(a-1)^2\geq 0;\: \: (b-1)^2\geq 0$

Если слагаемые больше или равны 0, то их сума будет больше или равна 0

ЧТД

2)

$2a^2+b^2+c^2\geq 2a(b+c)$

Раскроем скобки

$2a^2+b^2+c^2\geq 2ab+2ac\\$

Переносим все в левую часть

$2a^2=a^2+a^2\\a^2-2ab+b^2+c^2-2ac+a^2\geq 0\\(a-b)^2+(a-c)^2\geq 0$

Далее рассмотрим отдельно слагаемые

$(a-b)^2\geq 0; \: \: (a-c)^2\geq 0$

Раз слагаемые больше или равны 0, то и их сумма будет больше, либо равна 0

ЧТД