Question

Впрогрессии cn=54; q=3; sn=80 2/3. найти с1 и n.

Answer 1

Из формулы n-го члена геометрической прогрессии:

                                    $\boxed{\rm c_n=c_1q^{n-1}}$

Выразим первый член этой прогрессии:

$\rm c_1=\dfrac{c_n}{q^{n-1}}=\dfrac{54}{3^{n-1}}=\dfrac{162}{3^n}$

$\rm S_n=\dfrac{c_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ - сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Подставим $\rm c_1$ в сумму, получим

$\rm 80\dfrac{2}{3}=\dfrac{162\cdot \left(1-3^n\right)}{3^n\cdot (1-3)}~~~\Leftrightarrow~~~\dfrac{242}{3}=\dfrac{81\cdot\left(3^n-1\right)}{3^n}\\ \\ 242\cdot 3^n=243\cdot \left(3^n-1\right)\\ \\ 242\cdot 3^n=243\cdot 3^n-243\\ \\ 3^n=243\\ \\ 3^n=3^5~~~~\Leftrightarrow~~~~ \boxed{\rm n=5}$

Первый член геом. прогрессии: $\rm c_1=\dfrac{162}{3^5}=\dfrac{2}{3}$