Question

Нужно, , , систему составляю, выношу, выражаю, а дальше как делать не знаю.. три числа, сумма которых равна 15,6, являются первыми тремя членами прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. найдите сумму первых шести членов прогрессии.

Answer 1

Пусть первое число x, тогда первый член геом. прогрессии x, второй $qx$, третий $q^2x$

Второй член арифм. прогресии x, четырнадцатый $x+12d$, пятидесятый $x+48d$

Получается следующа система равенств:

$x\neq0,\;d\neq0,\;q\neq0\\ \begin{cases} qx=x+12d\\ q^2x=x+48d \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} d=\frac{qx-x}{12}\\ d=\frac{q^2x-x}{48} \end{cases}\\ \frac{qx-x}{12}=\frac{q^2x-x}{48}\\ 4x(q-1)=x(q^2-1)\\ 4q-4=q^2-1\\ q^2-4q+3=0\\ D=16-4\cdot3=4\\ q_1=3,\;q_2=1$

Предположим, что знаменатель геом.прогрессии не равен 1, иначе решение задачи не имеет смысла.

Пусть q=3. Сумма трёх данных чисел есть сумма первых трёх членов геом. прогрессии с первым членом x и знаменателем q=3. Найдём x:

$S_3=\frac{x(q^3-1)}{q-1}\\ \frac{x(3^3-1)}{3-1}=15,6\\ 26x=31,2\\ x=1,2$

Тогда сумма первых 6 членов этой прогрессии 

$S_6=\frac{1,2(3^6-1)}{3-1}=\frac{1,2\cdot728}{2}=0,6\cdot728=436,8$