Question

1) при каких значениях параметра р уравнение х^2-2(p-1)x+4p^2=0 имеет не более одного корня? 2) при каких значениях параметра р уравнение х^2 - (p+3)x +16=0 имеет хотя бы один корень?

Answer 1

1) при каких значениях параметра р уравнение х²-2(p-1)x+4р²=0 имеет не более одного корня?

Если дискриминант D≤0 , то уравнение имеет не более одного решения.

D = 4(p-1)² - 16р² = 4p² - 8p + 4 - 16р² = -12р² - 8p + 4

-12р² - 8p + 4 ≤ 0

или

-3р² - 2p + 1 ≤ 0 (А)

Найдём корни уравнения

-3р² - 2p + 1 = 0

D = 4+12 = 16

p₁ = (2 + 4):(-6) = -1

p₂ = (2 - 4):(-6) = 1/3

Решение неравенства (А) таково: х∈(-∞, -1] и [1/3, +∞)

Это и будет ответом.

2) при каких значениях параметра р уравнение х² - (p+3)х +16=0 имеет хотя бы один корень?

Если дискриминант D≥0 , то уравнение имеет хотя бы один корень.
D = (p+3)² - 64 = p² +6p + 9 - 64 = р² + 6p - 55
р² + 6p - 55 ≥ 0 (В)
Найдём корни уравнения
р² + 6p - 55 = 0
D = 36+220 = 256
p₁ = (-6 + 16):2 = 5
p₂ = (-6 - 16):2 = -11

Решение неравенства (В) таково: х∈(-∞, -11] и [5, +∞)
Это и будет ответом.

Answer 2

1)

$d\leq0$

$d=(2p-2)^2-16p^2=4-8p-12p^2$

$d=(2p-2)^2-16p^2=4-8p-12p^2\leq0$

$p=[-1;\frac{1}{3}]$

2)

$d\geq0$

$d=(p+3)^2-4*16=p^2+6p-55$

$d=(p+3)^2-4*16=p^2+6p-55\geq0$

$p=(-\infty;-11]u[5;+\infty)$