Question

6.10. Решите уравнение: а)arctg2x=п/6
б)arctg(-3x)=п/4
в)2arcsin(5x-1)=-п/2
г)3arccos(2x+3)=5п/2​

Answer 1

Добрый день! Для решения данных уравнений, мы будем использовать известные значения функций арктангенса (arctg), арксинуса (arcsin) и арккосинуса (arccos).

а) arctg(2x) = п/6
Для начала, мы можем использовать свойство тригонометрических функций, что arctg(x) = y означает, что tg(y) = x. Поэтому, в данном случае, tg(п/6) = 2x. Мы знаем, что tg(п/6) = sqrt(3)/3. Теперь можем записать уравнение:

sqrt(3)/3 = 2x

Далее, решим данное уравнение относительно x:

x = sqrt(3)/6

Ответ: x = sqrt(3)/6.

б) arctg(-3x) = п/4
Снова воспользуемся свойством функции арктангенса, что arctg(x) = y означает, что tg(y) = x. Здесь tg(п/4) = -3x.

Свойство тригонометрической функции тангенса, что tg(п/4) = 1, можем записать:

1 = -3x

Решим уравнение относительно x:

x = -1/3

Ответ: x = -1/3.

в) 2arcsin(5x-1) = -п/2
Для данного уравнения, используем свойство синуса, arcsin(x) = y, что sin(y) = x. Таким образом, sin(-п/2) = 5x - 1.

Используем свойство синуса, что sin(-п/2) = -1:

-1 = 5x - 1

Решим уравнение относительно x:

5x = 0

x = 0

Ответ: x = 0.

г) 3arccos(2x + 3) = 5п/2
Используем свойство косинуса, arccos(x) = y, что cos(y) = x. Здесь cos(5п/2) = 2x + 3.

Рассмотрим значение cos(5п/2):
cos(5п/2) = cos(п/2 + 2п) = cos(п/2) = 0.

Теперь можем записать уравнение:

0 = 2x + 3

Решим уравнение относительно x:

2x = -3

x = -3/2

Ответ: x = -3/2.

Таким образом, мы решили все уравнения и получили значения x для каждого из них.