16.6. Функцияның анықталу облысын табыңдар: 1) y = arcsin 1/х 2) y = arcsin1/х-2 3) y = 2arccos2/х+2 4) у = 2 - arccos1/х-1 найдите область определения функций
Для удобства решения системы, воспользуемся методом подстановки. Решим второе уравнение относительно переменной y:
y = x^2 - 1
Теперь заменим y в первом уравнении на x^2 - 1:
2x + (x^2 - 1) = 7
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
x^2 + 2x - 6 = 0
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней или применить метод разложения на множители. Посмотрим, как можно разложить полученное уравнение:
x^2 + 2x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
Таким образом, получаем два возможных значения x: x = -3 и x = 2.
Подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x^2 - 1, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = -3:
y = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8
Для x = 2:
y = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3
Таким образом, система имеет два решения: (-3, 8) и (2, 3).
2. Найдем стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 м, а площадь равна 40 м^2.
Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Тогда у нас есть два уравнения:
2a + 2b = 28 (периметр)
ab = 40 (площадь)
Решим первое уравнение относительно одной переменной:
2a + 2b = 28
a + b = 14
b = 14 - a
Теперь подставим это значение b во второе уравнение:
a(14 - a) = 40
14a - a^2 = 40
a^2 - 14a + 40 = 0
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение или метод разложения на множители:
(a - 10)(a - 4) = 0
a = 10 или a = 4.
Теперь подставим эти значения a обратно в уравнение b = 14 - a, чтобы найти соответствующие значения b:
Для a = 10:
b = 14 - 10 = 4
Для a = 4:
b = 14 - 4 = 10
Таким образом, стороны прямоугольника равны 10 м и 4 м.
3. Найдем координаты точек пересечения параболы y = x^2 + 4 и прямой x + y = 6.
Для этого можно решить систему уравнений:
{ y = x^2 + 4
{ x + y = 6
Перепишем второе уравнение в виде y = 6 - x и подставим его в первое уравнение:
x^2 + 4 = 6 - x
Перенесем все члены в левую сторону уравнения и получим квадратное уравнение:
x^2 + x - 2 = 0
Для решения этого уравнения можно использовать метод квадратного уравнения или разложение на множители:
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 или x = 1.
Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение y = 6 - x, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = -2:
y = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8
Для x = 1:
y = 6 - 1 = 5
Таким образом, точки пересечения параболы и прямой равны (-2, 8) и (1, 5).
4. Решим систему уравнений:
{2y - x = 7
{x^2 - xy - y^2 = 29
Перепишем первое уравнение в виде x = 2y - 7 и подставим его во второе уравнение:
(2y - 7)^2 - (2y - 7)y - y^2 = 29
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
4y^2 - 28y + 49 - 2y^2 + 7y - y^2 = 29
Сгруппируем члены и упростим уравнение:
y^2 - 14y + 20 = 0
Факторизуем это уравнение:
(y - 2)(y - 10) = 0
y = 2 или y = 10.
Теперь подставим найденные значения y обратно в уравнение x = 2y - 7, чтобы найти соответствующие значения x:
Для y = 2:
x = 2(2) - 7 = 4 - 7 = -3
Для y = 10:
x = 2(10) - 7 = 20 - 7 = 13
Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-3, 2) и (13, 10).
Хорошо, я буду выступать в роли школьного учителя и объясню, почему противоположные числа в часах дают сумму 13.
В часах есть двенадцать циферблатовых делений, которые обозначают числа от 1 до 12. Когда стрелка находится точно на делении, она указывает на это число. Таким образом, на циферблате часов есть двенадцать позиций, в которых может находиться стрелка.
Но почему противоположные числа на циферблате в часах дают сумму 13? Давай рассмотрим это.
Начнем с предположения, что мы начинаем с указывания на число 1 на циферблате. Если мы двигаем стрелку вперед на 12 делений, она остановится на числе 1 еще раз, потому что мы "обернулись" вокруг циферблата и вернулись на начало.
Теперь представьте, что мы начинаем с указывания на число 2. Если мы двигаем стрелку вперед на 11 делений (вспомните, что мы уже прошли одно деление и остановились на числе 2), то стрелка окажется на числе 1. Это происходит потому, что мы делаем 11 шагов вперед, и когда мы "оборачиваемся" после 12 шагов, мы окажемся на числе 1.
Таким образом, независимо от начального числа на циферблате, если мы двигаем стрелку вперед на 11 делений, она окажется на числе, противоположном начальному. И, конечно, сумма этих двух чисел будет равна 13.
Пример:
Допустим, мы начинаем с указывания на число 6 на циферблате. Если мы двигаем стрелку вперед на 11 делений, она окажется на числе 5. И сумма чисел 5 и 6 будет равна 11+6=13.
Таким образом, противоположные числа на циферблате в часах дают сумму 13, потому что при перемещении на 11 делений стрелка окажется на числе, противоположном начальному, и сумма этих двух чисел всегда будет равна 13.
Система уравнений:
{2x + y = 7
{x^2 - y = 1
Для удобства решения системы, воспользуемся методом подстановки. Решим второе уравнение относительно переменной y:
y = x^2 - 1
Теперь заменим y в первом уравнении на x^2 - 1:
2x + (x^2 - 1) = 7
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
x^2 + 2x - 6 = 0
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней или применить метод разложения на множители. Посмотрим, как можно разложить полученное уравнение:
x^2 + 2x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
Таким образом, получаем два возможных значения x: x = -3 и x = 2.
Подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x^2 - 1, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = -3:
y = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8
Для x = 2:
y = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3
Таким образом, система имеет два решения: (-3, 8) и (2, 3).
2. Найдем стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 м, а площадь равна 40 м^2.
Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Тогда у нас есть два уравнения:
2a + 2b = 28 (периметр)
ab = 40 (площадь)
Решим первое уравнение относительно одной переменной:
2a + 2b = 28
a + b = 14
b = 14 - a
Теперь подставим это значение b во второе уравнение:
a(14 - a) = 40
14a - a^2 = 40
a^2 - 14a + 40 = 0
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение или метод разложения на множители:
(a - 10)(a - 4) = 0
a = 10 или a = 4.
Теперь подставим эти значения a обратно в уравнение b = 14 - a, чтобы найти соответствующие значения b:
Для a = 10:
b = 14 - 10 = 4
Для a = 4:
b = 14 - 4 = 10
Таким образом, стороны прямоугольника равны 10 м и 4 м.
3. Найдем координаты точек пересечения параболы y = x^2 + 4 и прямой x + y = 6.
Для этого можно решить систему уравнений:
{ y = x^2 + 4
{ x + y = 6
Перепишем второе уравнение в виде y = 6 - x и подставим его в первое уравнение:
x^2 + 4 = 6 - x
Перенесем все члены в левую сторону уравнения и получим квадратное уравнение:
x^2 + x - 2 = 0
Для решения этого уравнения можно использовать метод квадратного уравнения или разложение на множители:
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 или x = 1.
Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение y = 6 - x, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x = -2:
y = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8
Для x = 1:
y = 6 - 1 = 5
Таким образом, точки пересечения параболы и прямой равны (-2, 8) и (1, 5).
4. Решим систему уравнений:
{2y - x = 7
{x^2 - xy - y^2 = 29
Перепишем первое уравнение в виде x = 2y - 7 и подставим его во второе уравнение:
(2y - 7)^2 - (2y - 7)y - y^2 = 29
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
4y^2 - 28y + 49 - 2y^2 + 7y - y^2 = 29
Сгруппируем члены и упростим уравнение:
y^2 - 14y + 20 = 0
Факторизуем это уравнение:
(y - 2)(y - 10) = 0
y = 2 или y = 10.
Теперь подставим найденные значения y обратно в уравнение x = 2y - 7, чтобы найти соответствующие значения x:
Для y = 2:
x = 2(2) - 7 = 4 - 7 = -3
Для y = 10:
x = 2(10) - 7 = 20 - 7 = 13
Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-3, 2) и (13, 10).