Question

Чему равен Тангенс угла между прямыми АВ и ВС если А(0;-4), В(3;0), С(0;6),

Answer 1

2

Объяснение:

Тригонометрическая связь тангенса и косинуса

$1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}$

Задача сводится к нахождению косинуса угла между векторами.

$\vec{AB}=\{3-0;0-(-4)\}=\{3;4\}\\\\\vec{BC}=\{0-3;6-0\}=\{-3;6\}$

Косинус угла между векторами через их скалярное произведение

$cos(\vec{AB}^{\land}\vec{BC})=\frac{(\vec{AB}\cdot \vec{BC})}{|\vec{AB}|\cdot |\vec{BC}|}$

Найдем необходимые величины

$(\vec{AB}\cdot \vec{BC})=3\cdot(-3)+4\cdot6=-9+24=15$

$|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16}=\sqrt{25} =5\\\\|\vec{BC}|=\sqrt{(-3)^2+6^2} =\sqrt{9+36} =\sqrt{45} =3\sqrt{5}$

Тогда косинус угла между прямыми равен

$cos(\vec{AB}^{\land}\vec{BC})=\frac{15}{5\cdot 3\sqrt{5} }=\frac{5}{\sqrt{5} } =\frac{1}{\sqrt{5} }$

А тангенс равен

$tg(\vec{AB}^{\land}\vec{BC})=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2}-1 }=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1}=\sqrt{4}=2$