Question

30 ! a,b,c-различно попарно натуральные числа. найти все тройки (a,b,c) такие, что 2a-1 делится на b, 2b-1 делтся на c, 2c-1 делится на a.

Answer 1

ответ:  с=7 ;a=13 ;b=25  

             a=7; b=13; c=25

             b=7;с=13 ; a=25

Объяснение:

Мы  знаем,  что a,b,c различные натуральные числа.

Предположим,  что  выполнены одновременно 3 неравенства:

a>b ; b>c ;с>a , (строгих неравенств нет  тк числа различны)

но  тогда:      a>b>c>a ,то  есть a>a ,что  невозможно.

Вывод: должно выполнятся хотя  бы  одно из ниже перечисленных неравенств.

a<b ,либо b<c ,либо с<a

1) Рассмотрим случай когда: a<b

тогда  2a<2b

Из  условия имеем:

2a-1=b*k ,где k-натуральное  число

2a=b*k+1

b*k+1<2b

b*(k-2)<-1<0

тк  b-натуральное (b>0)

k-2<0

k<2

То  есть  k=1.

2a-1=b

2b-1=c*m (m-натуральное  число)

2с-1=a*n (n-натуральное число)

2b-1=4a-3

4a-3=c*m

2c-1=a*n

Предположим ,что  m>4 ,но тогда:

4a-3=c*m<4a ,но  тогда если с>a,то с*m>4a, что невозможно.

Значит если m>4, то с<a.

Но  тогда по  тем же рассуждениям что и с  a<b (2a-1=b*k)

Cразу же получаем что:

2c-1=a

Выразим  b  через c :

2a-1=4c-3

2a-1=b

b=4c-3

2b-1=c*m

2*(4c-3)-1=c*m

8c-7=c*m

c*(8-m)=7>0

То  есть c делитель числа  7:

То  есть  с=1  или с=7

Но  если  c=1 ,то  8-m=7   m=1,что  невозможно тк m>4 .

Вывод: c=7 ; a=2c-1=13 ; b=2a-1=25.

Теперь рассмотрим частные случаи  когда m<=4  m=1,2,3,4

2b-1=c*m

тк 2b-1 нечетное  число, то и m должно быть нечетно, но  тогда m=1 либо m=3.

Если m=1 ,то  имеем:

2a-1=b

2b-1=c

Тогда из симметрии  задачи получаем что:

a=7; b=13; c=25

Если же:

m=3,то

2a-1=b

2b-1=3c

Выражаем a через с:

2b-1=4a-3

4a-3=3c → 6c=8a-6

2c-1=a*n

6c-3=3*a*n

8a-6-3=3*a*n

a*(8-3n)=9

тк  a>0 , 8-3n>0 ,тогда  n=1 или n=2

8-3n=5  или  8-3n=2

Но 9 не делится на 5 или  2.

Таким образом, если  a<b

то  с=7 ;a=13 ;b=25

или  a=7; b=13; c=25.

В остальных же двух  случаях :

b<c ,либо с<a в силу симметрии  задачи получаем

те же  числа в решениях : 7,13,25

Но  тут надо быть крайне аккуратным  эта задача запутана во всех смыслах. (это  далеко не  значит  что абсолютно все перестановки чисел 7,13,25 являются решениями, как я сначала подумал!).

Чтобы не запутаться, запишем в каком приоритете мы находили решения в первой случае:

a<b : 1) a→b ; 2)b→c 3);c→a

Внимание ! Тут очень важна зависимость. Второе число одного номера равно первому числу следующего номера!

Мы получили такие решения:

 с=7 ;a=13 ;b=25   -в номерном порядке : 3,1,2

 a=7; b=13; c=25 -в номерном порядке :1,2,3

Рассмотрим случай: b<c

Cледую необходимой зависимости имеем:

1) b→c  2) c→a 3) a→b

3,1,2- a=7,b=13,c=25  (как  видим решение cовпало)

1,2,3-  b=7 ; c=13 ;a=25

Рассмотрим случай: c<a

Cледуя требуемой зависимости:

1)c→a 2) a→b 3) b→c

3,1,2- b=7 ; c=13 ; a=25 (решение совпало)

1,2,3  -c=7; a=13 ;b=25 (решение совпало)

Таким образом у нас оказывается только 3 решения!

 с=7 ;a=13 ;b=25  

 a=7; b=13; c=25

b=7;с=13 ; a=25