Question

Составьте уравнение касательной y=kx+b к графику функции f(x) в точке x0, если f(x)=27/x+3x^2, x0=3

Answer 1

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0, нам понадобится найти значение производной функции в этой точке. Производная функции f(x) показывает скорость изменения функции в каждой точке.

Для начала, найдем производную функции f(x). Для этого применим правило дифференцирования для суммы и правило дифференцирования частного:

f'(x) = (27/x + 3x^2)' = (27/x)' + (3x^2)' = -27/x^2 + 6x

Теперь найдем значение производной в точке x0=3:

f'(3) = -27/3^2 + 6*3 = -27/9 + 18 = -3 + 18 = 15

Таким образом, производная функции f(x) в точке x0=3 равна 15.

Уравнение касательной имеет вид y = kx + b, где k - коэффициент наклона касательной, а b - значение функции в точке, в которой находится касательная.

Мы уже вычислили значение производной в точке x0=3, которое равно 15. Теперь мы можем использовать это значение, чтобы найти коэффициент наклона касательной:

k = 15

Теперь нам нужно найти значение функции f(x) в точке x0=3. Подставим x=3 в исходную функцию f(x):

f(3) = 27/3 + 3*3^2 = 9 + 3*9 = 9 + 27 = 36

Таким образом, значение функции в точке x0=3 равно 36. Мы можем использовать это значение, чтобы найти значение b:

b = 36

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0=3 имеет вид:

y = 15x + 36