Question

Ctg(-t)/tgt+ctgt= -cos^2t докажите тождество

Answer 1

Для доказательства данного тождества, нам понадобится знание о некоторых основных тождествах тригонометрии. Здесь являются основными тригонометрическими тождествами:

1. Тождество тангенса: tg(t) = sin(t)/cos(t)
2. Тождество котангенса: ctg(t) = cos(t)/sin(t)
3. Тождество синуса: sin^2(t) + cos^2(t) = 1
4. Тождество косинуса: 1 + tg^2(t) = sec^2(t)

Начнем с левой стороны уравнения и преобразуем ее с использованием этих тождеств:

Ctg(-t)/ tgt + ctgt

Заметим, что ctg(-t) = - ctg(t):

- ctg(t)/tgt + ctgt

Далее заменим ctg(t) на cos(t)/sin(t):

- (cos(t)/sin(t))/((sin(t)/cos(t))* sin(t)) + cos(t)/sin(t)

Упростим дроби:

- (cos(t)/sin(t))*(cos(t)/sin(t)) + cos(t)/sin(t)

Домножим первое слагаемое на (sin(t)/cos(t)):

- cos^2(t)/(sin(t)*cos(t)) + cos(t)/sin(t)

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

- cos^2(t)/(sin(t)*cos(t)) + (sin(t)*cos(t)*cos(t))/(sin(t)*cos(t))

Воспользуемся тождеством синуса: sin(t)*cos(t) = 1 - cos^2(t):

- cos^2(t)/(sin(t)*cos(t)) + (1 - cos^2(t)*cos(t))/(sin(t)*cos(t))

После упрощения, получим:

- cos^2(t)/(sin(t)*cos(t)) + (cos(t) - cos^3(t))/(sin(t)*cos(t))

Теперь объединим две дроби:

(- cos^2(t) + cos(t) - cos^3(t))/(sin(t)*cos(t))

Далее можем заметить, что в числителе есть общий множитель -cos^2(t):

- cos^2(t)*(1 + 1 - cos(t))/(sin(t)*cos(t))

Теперь упростим выражение в знаменателе числителя:

- cos^2(t)*(2 - cos(t))/(sin(t)*cos(t))

Заметим, что в числителе числителя есть общий множитель -cos(t):

- cos(t)*cos^2(t)*(2 - cos(t))/(sin(t)*cos(t))

Упростим это выражение, сократив общие множители cos(t) и cos^2(t):

- cos(t)*(2 - cos(t))/sin(t)

Теперь заменим 2 на 1 + 1:

- cos(t)*(1 + 1 - cos(t))/sin(t)

И снова упростим выражение:

- cos(t)*(1 - cos(t) + 1)/sin(t)

Суммируем числители:

- cos(t)*(2 - cos(t))/sin(t)

Заменим 2 на 1 + 1:

- cos(t)*(1 + 1 - cos(t))/sin(t)

Упростим выражение:

- cos(t)*(1 - cos(t) + 1)/sin(t)

Наконец, суммируем числители:

- cos(t)*(2 - cos(t))/sin(t)

Используем тождество косинуса 1 + tg^2(t) = sec^2(t), чтобы заменить 2 - cos(t) на tg^2(t):

- cos(t)*(tg^2(t))/sin(t)

Но tg^2(t) = (sin(t)/cos(t))^2:

- cos(t)*(sin^2(t)/cos^2(t))/sin(t)

Сокращаем sin(t) и получаем:

- sin(t)/cos(t)

И это равно -tg(t).

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна -cos^2(t), что и требовалось доказать.

Ответ: Ctg(-t)/ tgt + ctgt = -cos^2(t)