Question

Найдите производную: y`(х)

$y = (\frac{1+x}{x^{2} } )^{e^{2x} } -e^{5} tg^{2} x$

Answer 1

$y=\left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}-e^5\mathrm{tg}^2x$

Первое слагаемое представляет собой показательно-степенную функцию, для нахождения производной которой необходимо применить логарифмическое дифференцирование. Продифференцируем первое слагаемое отдельно:

$y=\left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}$

$\ln y=\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}$

$\ln y=e^{2x} \ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)$

$(\ln y)'=\left(e^{2x} \ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)\right)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\left(e^{2x}\right)'\cdot\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot\left(\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)\right)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^{2x}\cdot(2x)'\cdot\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1+x}{x^2}} \cdot\left(\dfrac{1+x}{x^2}\right)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^{2x}\cdot2\cdot\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{x^2}{1+x} \cdot\dfrac{(1+x)'\cdot x^2-(1+x)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2e^{2x}\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{x^2}{1+x} \cdot\dfrac{1\cdot x^2-(1+x)\cdot2x}{x^4}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2e^{2x}\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{x^2}{1+x} \cdot\dfrac{x^2-2x-2x^2}{x^4}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2e^{2x}\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{x^2}{1+x} \cdot\dfrac{-x^2-2x}{x^4}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2e^{2x}\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{x^2}{1+x} \cdot\dfrac{x(-x-2)}{x^4}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2e^{2x}\ln \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)+e^{2x}\cdot \dfrac{x^3(-x-2)}{x^4(1+x)}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2e^{2x}\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) +e^{2x}\cdot \dfrac{-x-2}{x(1+x)}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=e^{2x}\cdot\left(2\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) -\dfrac{x+2}{x+x^2}\right)$

$y'=e^{2x}\cdot\left(2\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) -\dfrac{x+2}{x+x^2}\right)\cdot y$

$y'=e^{2x}\cdot\left(2\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) -\dfrac{x+2}{x+x^2}\right)\cdot \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}$

Найдем производную заданной функции:

$y=\left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}-e^5\mathrm{tg}^2x$

$y'=\left(\left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}\right)'-\left(e^5\mathrm{tg}^2x\right)'$

$y'=e^{2x}\cdot\left(2\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) -\dfrac{x+2}{x+x^2}\right)\cdot \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}-e^5\cdot2\mathrm{tg}x\cdot(\mathrm{tg}x)'$

$y'=e^{2x}\cdot\left(2\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) -\dfrac{x+2}{x+x^2}\right)\cdot \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}-2e^5\mathrm{tg}x\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}$

$\boxed{y'=e^{2x}\cdot\left(2\ln\left( \dfrac{1+x}{x^2}\right) -\dfrac{x+2}{x+x^2}\right)\cdot \left(\dfrac{1+x}{x^2} \right)^{e^{2x}}-\dfrac{2e^5\mathrm{tg}x}{\cos^2x} }$