Дима шел вдоль реки к остановке автобуса. не дойдя до остановки 3 км, он решил искупаться и потратил на это 15 мин.чтобы успеть к автобусу вовремя, он увеличил скорость на 2 км/ч. с какой скоростью первоначально шел дима?
Примем начальную скорость Димы за х, а время, за которое Дима бы с этой скоростью оставшиеся 3 км, - за у При начальной скорости х
х*у=3 Но времени у Димы осталось на 15 мин меньше (15 мн=0,25 часа ), и он потратил на оставшуюся дорогу на 0,25 часа меньше. И те же 3 км при скорости х+2 за у-0,25 часов.
Составим систему уравнений: |х*у=3 |(х+2)(у-0,25)=3
у=3/х
Подставим это значение у во второе уравнение
(х+2)(3/х-0,25)=3 3- 0,25х+6/х-0,5=3 6/х- 0,25х =0,5 умножим на х , чтобы избавиться от дроби. 6-0,25х ²-0,5х=0 Разделим на -0,25 ( можно этого не делать) х²+2х-24=0 D=b²-4ac= 100 (подробное решение квадратного уравнения сделайте сами) Получим два корня х₁=4 х₂= -6 ( он не подходит)
Что бы найти первообразную, можно и не пользоваться таблицой, но главное запомнить первообразные разных элементарных функций, без этого не как. Например это просто надо запомнить. Если же вы будете искать какой то аналитический метод нахождения первообразных без всякого основания (имею ввиду, знания первообразных элементарных функций), то вам будет очень трудно это сделать. Да и для чего? Не зря ведь математики кучу времени потратили на формулы первообразных. Так что дерзайте, учите таблицу. Это не так сложно, главное полюбить интегралы, и понять их смысл. Таблица первообразных, это как таблица умножения только для математического анализа :) Успехов вам в постижении МАТАНа!
Докажем ф-лу (1): 1) проведем радиуо ОА, равный R, вокруг точки О на угол a и b (рис50). Получим радиус ОВ и радиус ОС. 2)Пусть В (х1;у1) С (х2;у2). 3) Введем векторы ОВ (х1;у1) , ОС (х2;у2)
4)По опр-ию скалярного произведения ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*) 5) по опр-ию синуса и косинуса х1=R*cos a, y1=R*sin a, x2=R* cos b, y2=R*sin b 6) заменяя в равенстве (*) х1,х2,у1,у2, получим ОВ*ОС=R^2*cos a*cos b+R^2*sin a*sin b (**). 7) По теореме о скалярном произведении векторов ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cosÐ BOC=R^2 cosÐBOC,
ÐBOC= a-b(см. рис. 50) или ÐBOC= 2 пи-(a-b) (см. рис. 51) cos(2 пи-(a-b))=cos(a-b) следовательно ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) (***) 8) Из неравенств (**) и (***) получим: R^2*cos(a-b)=R^2* cos a*cos b+R^2*sin a*sin b. Разделив левую и правую части на R^2¹0 получим формулу (1) косинуса разности Cos (a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b; С этой формулы легко вывести формулу (2) косинуса суммы и (4) синуса суммы:
Cos (a+b)=cos(a-(-b))=cos a*cos(-b)+sin a*sin (-b)= cos a*cos b-sin a*sin b значит cos(a+b)=cos a*cos b- sin a*sin b. Докажем формулу (4): sin (a+b)=cos(пи/2-(a+b))=cos((пи/2-a)-b)=cos(пи/2-a)cos b+sin(пи/2-a)sin b=sin a*cos b+cos a*sin b Значит sin (a+b)=sin a*cos b+sin b*cos a
Докажем формулу (3) Применяя последнюю формулу имеем sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin a*cos (-b)+sin(-b)*cos a=sin a*cos b-sin b*cos a. Значит sin(a-b)=sin a*cos b-sin b*cos a. При док-ве формул (1)-(4) были использованы следующие факты: 1) формулы приведения 2)ф-ция y=sin x-нечетная, ф-ция y=cos x-четная. Из формул сложения пологая b=пи n/2, где n ÎN, можно вывести формулы привидения для преобразований выражений вида cos(пи*n/2 ±a), sin(пи*n/2 ±a). Например cos(пи*n/2 -a)= cos пи/2*cos a+sin пи/2*sin a=0+sin a=sin a. Аналогично выводятся следующие формулы:
Sin (пи-а) =sin a
Sin (пи+а) =-sin a
Sin (3 пи/2-а) =-cos a и т. п. Из формул сложения следуют формулы двойного аргумента:
это просто надо запомнить.
Примем начальную скорость Димы за х, а время, за которое Дима бы с этой скоростью оставшиеся 3 км, - за у
При начальной скорости х
х*у=3
Но времени у Димы осталось на 15 мин меньше (15 мн=0,25 часа ), и он потратил на оставшуюся дорогу на 0,25 часа меньше.
И те же 3 км при скорости х+2 за
у-0,25 часов.
Составим систему уравнений:
|х*у=3
|(х+2)(у-0,25)=3
у=3/х
Подставим это значение у во второе уравнение
(х+2)(3/х-0,25)=3
3- 0,25х+6/х-0,5=3
6/х- 0,25х =0,5 умножим на х , чтобы избавиться от дроби.
6-0,25х ²-0,5х=0 Разделим на -0,25 ( можно этого не делать)
х²+2х-24=0
D=b²-4ac= 100 (подробное решение квадратного уравнения сделайте сами)
Получим два корня
х₁=4
х₂= -6 ( он не подходит)
ответ: Начальная скорость Димы 4 км/ч