Шаг 2: Предположение
Предположим, что неравенство выполняется для некоторого a = k, где k > 0. То есть, предполагаем, что
(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 6) > 96k
Шаг 3: Доказательство для a = k + 1
Докажем, что неравенство выполняется для a = k + 1, используя предположение.
Теперь рассмотрим два выражения по отдельности и сравним их:
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72
96k + 96
Объединим все слагаемые в одно выражение и упростим его:
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72 - 96k - 96 > 0
k^4 + 12k^3 + 41k^2 - 30k - 24 > 0
Шаг 4: Доказательство неравенства в шаге 3
Произведем факторизацию левой части неравенства:
(k^2 + 6k + 8)(k^2 + 6k + 3) > 0
Теперь рассмотрим два множителя по отдельности:
1. k^2 + 6k + 8
Для доказательства, что данное выражение больше нуля, мы можем воспользоваться методом квадратного трехчлена или решить квадратное уравнение. Однако, я предположу, что данный квадратный трехчлен имеет корни, то есть дискриминант (D) меньше нуля.
D = b^2 - 4ac
D = 6^2 - 4(1)(8)
D = 36 - 32
D = 4
Таким образом, дискриминант равен 4, что больше нуля. Следовательно, квадратный трехчлен k^2 + 6k + 8 всегда положителен.
2. k^2 + 6k + 3
Для доказательства, что данное выражение больше нуля, мы можем воспользоваться тем же методом. Опять же, предположим, что данный квадратный трехчлен имеет корни, так что дискриминант меньше нуля.
D = b^2 - 4ac
D = 6^2 - 4(1)(3)
D = 36 - 12
D = 24
Таким образом, дискриминант равен 24, что больше нуля. Поэтому, второй квадратный трехчлен k^2 + 6k + 3 также всегда положителен.
Таким образом, мы доказали, что оба множителя (k^2 + 6k + 8) и (k^2 + 6k + 3) всегда положительны, что означает, что произведение (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 6) всегда положительно.
Шаг 5: Вывод
Итак, мы успешно доказали неравенство ((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)((k + 1) + 3)((k + 1) + 6) > 96(k + 1), используя предположение, базовый случай и шаги доказательства.
По методу математической индукции, мы показали, что неравенство (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 6) > 96a выполняется при a > 0.
Шаг 1: Базовый случай
Для a = 1:
(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)(1 + 6) > 96*1
2 * 3 * 4 * 7 > 96
168 > 96
Таким образом, базовый случай верен.
Шаг 2: Предположение
Предположим, что неравенство выполняется для некоторого a = k, где k > 0. То есть, предполагаем, что
(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 6) > 96k
Шаг 3: Доказательство для a = k + 1
Докажем, что неравенство выполняется для a = k + 1, используя предположение.
((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)((k + 1) + 3)((k + 1) + 6) > 96(k + 1)
(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 7) > 96k + 96
Распишем числа в скобках:
(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 7) > 96k + 96
(k^2 + 5k + 6)(k^2 + 7k + 12) > 96k + 96
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72 > 96k + 96
Теперь рассмотрим два выражения по отдельности и сравним их:
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72
96k + 96
Объединим все слагаемые в одно выражение и упростим его:
k^4 + 12k^3 + 41k^2 + 66k + 72 - 96k - 96 > 0
k^4 + 12k^3 + 41k^2 - 30k - 24 > 0
Шаг 4: Доказательство неравенства в шаге 3
Произведем факторизацию левой части неравенства:
(k^2 + 6k + 8)(k^2 + 6k + 3) > 0
Теперь рассмотрим два множителя по отдельности:
1. k^2 + 6k + 8
Для доказательства, что данное выражение больше нуля, мы можем воспользоваться методом квадратного трехчлена или решить квадратное уравнение. Однако, я предположу, что данный квадратный трехчлен имеет корни, то есть дискриминант (D) меньше нуля.
D = b^2 - 4ac
D = 6^2 - 4(1)(8)
D = 36 - 32
D = 4
Таким образом, дискриминант равен 4, что больше нуля. Следовательно, квадратный трехчлен k^2 + 6k + 8 всегда положителен.
2. k^2 + 6k + 3
Для доказательства, что данное выражение больше нуля, мы можем воспользоваться тем же методом. Опять же, предположим, что данный квадратный трехчлен имеет корни, так что дискриминант меньше нуля.
D = b^2 - 4ac
D = 6^2 - 4(1)(3)
D = 36 - 12
D = 24
Таким образом, дискриминант равен 24, что больше нуля. Поэтому, второй квадратный трехчлен k^2 + 6k + 3 также всегда положителен.
Таким образом, мы доказали, что оба множителя (k^2 + 6k + 8) и (k^2 + 6k + 3) всегда положительны, что означает, что произведение (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 6) всегда положительно.
Шаг 5: Вывод
Итак, мы успешно доказали неравенство ((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)((k + 1) + 3)((k + 1) + 6) > 96(k + 1), используя предположение, базовый случай и шаги доказательства.
По методу математической индукции, мы показали, что неравенство (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 6) > 96a выполняется при a > 0.