Question

F(x) = 5x² - 3x расспишите по 8 пунктам (D(f), E(f), вершина, ось симметрии, нули, знакопостоянтсво, монотонности, пересечение с ОУ

Answer 1

$f(x) = 5x^2 - 3x$  - квадратичная функция, графиком является парабола.

a = 5, a > 0, ветви параболы направлены вверх.

1) Для начала найдём область определения функции. Никаких дополнительных ограничений на аргумент не накладывается, поэтому: $D(f):\ \ x \in \mathbb{R}$.

2) Найдём координаты вершины параболы. Её абсцисса: $x_{0} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-3}{2\cdot 5} = \dfrac{3}{10} = \boxed{\textbf{0,3}}$ . Её ордината: $y_{0} = f(x_{0}) = 5\cdot 0,3^2 - 3\cdot 0,3 = 5\cdot 0,09 - 0,9 = 0,45 - 0,9 = \boxed{\textbf{-0,45}}$ .

Таким образом, координаты вершины параболы: $\boxed{\textbf{(0,3;\ -0,45)}}$ .

3) Найдём множество значений данной функции. Её график ограничен снизу, поэтому максимальное значение функции не определено, а минимальное соответствует ординате вершины параболы, значит:

$E(f):\ \ y \in [-0,45; + \infty)}}$.

4) Осью симметрии параболы является прямая, проходящая через вершину параболы и параллельная оси ординат. Таким образом, осью симметрии графика данной функции является прямая  $\boxed{\textbf{x = 0,3}}$ .

5) Нулями функции называются те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Получаем:

$f(x) = 0\\5x^2 - 3x = 0\\x(5x-3) = 0\\\left[\begin{gathered}x = 0\\5x - 3 =0\\\end{gathered} \ \ \Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x = 0\\5x = 3\\\end{gathered} \ \ \Leftrightarrow$\left[\begin{gathered}x=0\\x = 0,6\\\end{gathered}$

Таким образом, функция имеет два нуля: $\boxed{\textbf{0}}$ и $\boxed{\textbf{0,6}}$ .

6) Промежутки знакопостоянства данной параболы напрямую зависят от нулей функции: на интервале от одного нуля до второго функция будет отрицательна, на всех остальных - положительна.

Функция положительна при  $x \in (-\infty; 0)\ \cup\ (0,6; +\infty)$.

Функция отрицательна при  $x \in (0;\ 0,6)$.

7) Промежутки монотонности - это промежутки возрастания и убывания. Для параболы они сменяют друг друга в вершине.

Функция убывает при  $x \in (-\infty;\ 0,3]$ .

Функция возрастает при  $x \in [0,3; +\infty)$ .

8) График пересекает ось Oy в тех точках, где $x = 0$. Абсцисса известна, осталось найти ординату: просто подставляем значение в функцию.

$y = f(0) = 5 \cdot 0^2 - 3\cdot 0 = 0 - 0 = \boxed{\textbf{0}}$ .

Таким образом, график данной функции пересекает ось Oy в точке с координатами $\boxed{\textbf{(0; 0)}}$ .