Question

Решить любые 5 примеров, ответ расписать

Answer 1

1.

Разделим на х.

$\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = 2 \frac{y}{x} - 1$

замена:

$\frac{y}{x} = U \\ y = U'x + U$

$U(U'x + U) = 2U - 1 \\ U'x + U = \frac{2U - 1}{U} \\ U'x = \frac{2U - 1 - {U}^{2} }{U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{2U - 1 - {U}^{2} }{U} \\ - \int\limits \frac{UdU}{ {U}^{2} - 2U + 1 } = \int\limits \frac{dx}{x} \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2UdU}{ {U}^{2} - 2 U + 1} = ln(x) + c \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2U - 2 + 2}{ {U}^{2} - 2 U + 1} dU = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{(2U- 2)du}{ {U}^{2} - 2U + 1} + \int\limits \frac{dU}{ {(U - 1)}^{2} } = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {U}^{2} - 2U + 1 )}{ {U}^{2} - 2U + 1 } + \int\limits {(U - 1)}^{ - 2} d(U - 1) = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} ln( {U}^{2} - 2U + 1) - \frac{1}{ U - 1 } = ln(x) + C \\ ln( {U}^{2} - 2u + 1) + \frac{2}{U - 1} = - 2 ln(x) - 2C \\ ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } - \frac{2y}{x} + 1 ) + \frac{2}{ \frac{y}{x} - 1 } = - 2 ln(x) + C \\ ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } - \frac{2y}{x} + 1 ) + \frac{2x}{y - x} = - 2 ln(x) + C$

общее решение

2.

${x}^{2} + {y}^{2} - 2xy \times y' = 0$

разделим на х^2

$1 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } - 2 \frac{y}{x} \times \frac{dy}{dx} = 0$

та же замена

$1 + {U}^{2} - 2U(U'x + U) = 0 \\ U'x + U = \frac{1 + {U}^{2} }{2U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{1 + {U}^{2} - 2 {U}^{2} }{2U} \\ \int\limits \frac{2U}{1 - {U}^{2} } = \int\limits \frac{dx}{x} \\ 2 \times \frac{1}{2 \times 1} ln( \frac{1 -U}{1 + U} ) = ln(x) + ln(C) \\ ln( \frac{1 - U}{1 + U} ) = ln(Cx) \\ \frac{1 - \frac{y}{x} }{1 + \frac{y}{x} } = Cx \\ \frac{x - y}{x} \times \frac{x}{x + y} = Cx \\ \frac{x - y}{x + y} = Cx$

общее решение

4.

$(xy - {x}^{2} )y' = {y}^{2}$

разделим на х^2

$( \frac{y}{x} - 1)y' = \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} }$

та же замена

$(U - 1)(U'x + U) = {U}^{2} \\ U'x + U = \frac{ {U}^{2} }{U - 1} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{ {U}^{2} - U(U - 1)}{U - 1} \\ \frac{dU}{dx} x= \frac{ {U}^{2} - {U}^{2} + U}{U - 1} \\ \int\limits \frac{U - 1}{U}dU =\int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits(1 - \frac{1}{U} )dU = ln(x) + c \\ U - ln(U) = ln(x) + C \\ \frac{y}{x} - ln( \frac{y}{x} ) = ln(x) + C \\ \frac{y}{x} = ln( \frac{y}{x} \times x) + C \\ \frac{y}{x} = ln(y) + C \\ y = x ln(y) + Cx$

общее решение

5.

$x \frac{dy}{dx} = y ln( \frac{y}{x} )$

разделим на х

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} ln( \frac{y}{x} )$

та же замена

$U'x + U = U ln(U) \\ \frac{dU}{dx} x = U ln(U) - U\\ \int\limits \frac{dU}{U( ln(U) - 1)} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d( ln(U) - 1)}{ ln(U) - 1} = ln(x) + ln(C) \\ ln( ln(U) - 1) = ln(Cx) \\ ln(U) - 1 = Cx \\ ln( \frac{y}{x} ) = Cx + 1$

общее решение

6.

$y - xy'= x + yy'$

разделим на х

$\frac{y}{x} - y'= 1 + \frac{y}{x}y' \\ y' + \frac{y}{x} y' = \frac{y}{x} - 1 \\ y'(1 + \frac{y}{x} ) = \frac{y}{x} - 1$

та же замена

$(U'x + U)(1 + U) = U- 1 \\ U'x + U = \frac{U - 1}{U + 1} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{U - 1 - {U}^{2} - U}{U + 1} \\ \int\limits \frac{U + 1}{ - 1 - {U}^{2} } = \int\limits \frac{dx}{x} \\ - \int\limits \frac{U + 1}{ {U}^{2} + 1} = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2UdU }{ {U}^{2} + 1 } - \int\limits \frac{dU}{ {U}^{2} + 1} = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {U}^{2} + 1)}{ {U}^{2} + 1} - arctg(U) = ln(x) + C \\ - \frac{1}{2} ln( {U}^{2} + 1 ) - arctg(U) = ln(x) + C \\ ln( {U}^{2} + 1 ) + 2arctg(U) = - 2 ln(x) - 2C \\ ln( \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 1 ) + 2arctg( \frac{y}{x} ) = - 2 ln(x) + C$

общее решение