Question

Дана функция у = 0,5х в 4 степени - 4х в квадрате. найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3]

Answer 1

у = 0,5х⁴ - 4х²

у' = 2х³ - 8х

Найдём точки, где у'  = 0

2х³ - 8х = 0

2х·(х² - 4) = 0

х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2

1) Найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах

-2 0 2

у'(-3) = 2·(-27) - 8·(-3) = -30   у' < 0,  у убывает

у'(-1) = 2·(-1) - 8·(-1) = 6   у' > 0,  у возрастает

у'(1) = 2·1 - 8·1 = -6   у' < 0,  у убывает

у'(3) = 2·27 - 8·3 = 30   у' > 0,  у возрастает

Итак, промежутки возрастания и убываня функции:

Функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞)

Функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]

2) Найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции.

В точке  х = -2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

В точке  х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума

В точке  х = 2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

y min 1 = y(-2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

y min 2 = y(2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

y max = y(0) = 0,5·0 - 4·0 = 0

3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]

На концах интервала функция принимает значения:

у(-1) = 0,5·1 - 4·1 = -3,5

у(3) = 0,5·81 - 4·9 = 4,5

В указанном интервале [-1;3] мы имеем один локальный максимум

y max = y(0) = 0

и один локальный минимум

y min = y(2) =  -8

Сравнивая все четыре значения функции, видим, что

у наиб = у(3) = 4,5

у наим = y(2) =  -8