Question

Найти область определение функции $y=\frac{14}{\sqrt{x^{2} +3x-10} } +\frac{17}{4x-30}$

Answer 1

$x \in (-\infty; -5) \cup (2; 7,5) \cup (7,5; +\infty)$

Объяснение:

Областью определения корня являются числа, большие или равные нулю. Так как корень находится в знаменателе дроби, то он не может равняться 0 ⇒ подкоренное выражение строго больше нуля. Знаменатель второй дроби также не равен нулю.

$x^{2}+3x-100;$

$x^{2}+5x-2x-100;$

$x(x+5)-2(x+5)0;$

$(x-2)(x+5)0;$

Найдём нули функции:

$(x-2)(x+5)=0;$

$x-2=0 \quad \vee \quad x+5=0;$

$x=2 \quad \vee \quad x=-5;$

Определим знаки неравенства на промежутках

$(-\infty; -5), \quad (-5; 2), \quad (2; +\infty);$

$x=-6 \Rightarrow (-6-2)(-6+5)=-8 \cdot (-1)=80;$

$x=0 \Rightarrow (0-2)(0+5)=-2 \cdot 5=-10$

$x=3 \Rightarrow (3-2)(3+5)=1 \cdot 8=80;$

Неравенство принимает положительное значение на промежутках

$(-\infty; -5), \quad (2; +\infty),$

значит,

$x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty);$

Теперь найдём вторую область определения:

$4x-30 \neq 0;$

$4x \neq 30;$

$x \neq 7,5;$

Принимая во внимание полученные области определения, получаем:

$x \in (-\infty; -5) \cup (2; 7,5) \cup (7,5; +\infty);$