Для того чтобы найти область определения функции, нужно определить, для каких значений аргумента функция имеет смысл и является определенной.
В данном случае у нас есть функция f(x), заданная формулой:
f(x) = √(9 - 4x^2)
Для того чтобы вычислить область определения этой функции, нужно учесть два фактора:
1. Ограничение по определению корня: извлечение корня имеет смысл только для неотрицательных чисел или нуля. Значит, выражение (9 - 4x^2) должно быть больше или равно нулю.
9 - 4x^2 ≥ 0
2. Ограничение по определению аргумента: знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Значит, рассмотрим условие:
9 - 4x^2 > 0
Перейдем к решению первого неравенства:
9 - 4x^2 ≥ 0
Для упрощения неравенства, перенесем все в левую часть:
4x^2 - 9 ≥ 0
Выражение в левой части разности можно преобразовать к виду разности квадратов:
(2x - 3)(2x + 3) ≥ 0
Рассмотрим значения, при которых произведение двух множителей положительно или равно нулю.
1) Если (2x - 3) ≥ 0 и (2x + 3) ≥ 0, то оба множителя отрицательны или равны нулю:
2x - 3 ≥ 0 => 2x ≥ 3 => x ≥ 3/2
2x + 3 ≥ 0 => 2x ≥ -3 => x ≥ -3/2
2) Если (2x - 3) ≤ 0 и (2x + 3) ≤ 0, то оба множителя положительны или равны нулю:
2x - 3 ≤ 0 => 2x ≤ 3 => x ≤ 3/2
2x + 3 ≤ 0 => 2x ≤ -3 => x ≤ -3/2
Итак, область определения функции f(x) состоит из значений x, для которых выполняются все полученные неравенства одновременно.
Вариант 1: x ≥ 3/2 и x ≥ -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые больше или равны 3/2.
Вариант 2: x ≤ 3/2 и x ≤ -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые меньше или равны -3/2.
2) Учитывая ограничение по определению аргумента, рассмотрим второе неравенство:
9 - 4x^2 > 0
Для упрощения неравенства, перенесем все в левую часть:
4x^2 - 9 < 0
Как и в предыдущем случае, выражение в левой части можно преобразовать к виду разности квадратов:
(2x - 3)(2x + 3) < 0
Рассмотрим значения, при которых произведение двух множителей отрицательно.
1) Если (2x - 3) > 0 и (2x + 3) < 0, то один множитель положителен, а второй отрицателен:
2x - 3 > 0 => 2x > 3 => x > 3/2
2x + 3 < 0 => 2x < -3 => x < -3/2
2) Если (2x - 3) < 0 и (2x + 3) > 0, то один множитель отрицателен, а второй положителен:
2x - 3 < 0 => 2x < 3 => x < 3/2
2x + 3 > 0 => 2x > -3 => x > -3/2
Таким образом, область определения функции f(x) состоит из значений x, для которых выполняется второе неравенство.
Вариант 1: x > 3/2 и x < -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые больше 3/2 и меньше -3/2.
Вариант 2: x < 3/2 и x > -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые меньше 3/2 и больше -3/2.
Итак, область определения функции f(x) складывается из пересечения областей, полученных в каждом случае.
Область определения функции f(x) состоит из всех значений x, которые больше или равны 3/2, и меньше или равны -3/2.
Окончательно, область определения функции f(x): x ≥ 3/2 и x ≤ -3/2.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать алгебру. Давайте посмотрим на пошаговое решение этой задачи.
Пусть x - количество часов, которое Джон ожидал потратить на выполнение работы. Тогда мы знаем, что Джон устроился на работу на 7 часов дольше, чем бы ожидал. Это означает, что фактическое время работы Джона составляет x + 7 часов.
Также из условия задачи мы знаем, что Джон заработал на $14 в час меньше, чем ожидал. Значит, за каждый фактический час работы Джон получил 14 долларов меньше, чем было бы, если бы он закончил работу за ожидаемые x часов. То есть за каждый час работы Джон получил x - 14 долларов.
Нам также известно, что Джон заработал в итоге 156 долларов. Это значит, что фактическая сумма заработка составляет (x - 14)(x + 7) долларов.
Теперь мы можем записать уравнение на основе данных из условия задачи:
(x - 14)(x + 7) = 156
Для решения этого квадратного уравнения нам необходимо разложить его на множители. Произведение двух множителей должно быть равно 156, поэтому мы можем попытаться представить 156 как произведение двух чисел в соответствии с формулой y = (a - b)(a + b).
Варианты разложения числа 156:
1 * 156
2 * 78
3 * 52
4 * 39
6 * 26
12 * 13
Учитывая, что Джон потратил больше времени, чем ожидал, мы можем откинуть варианты разложения, где один из множителей больше, чем другой. То есть нам нужно выбрать варианты, где a + b > a - b.
Оставшиеся нам варианты разложения:
2 * 78
3 * 52
4 * 39
6 * 26
Мы можем проверить каждый из этих вариантов подставлением в уравнение и сравнением со всеми данными, но для экономии времени можно заметить, что только второй вариант удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, x - 14 = 3 и x + 7 = 52
Решим первое уравнение относительно x:
x = 3 + 14 = 17
Таким образом, Jon ожидал, что работа займет 17 часов.
В данном случае у нас есть функция f(x), заданная формулой:
f(x) = √(9 - 4x^2)
Для того чтобы вычислить область определения этой функции, нужно учесть два фактора:
1. Ограничение по определению корня: извлечение корня имеет смысл только для неотрицательных чисел или нуля. Значит, выражение (9 - 4x^2) должно быть больше или равно нулю.
9 - 4x^2 ≥ 0
2. Ограничение по определению аргумента: знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Значит, рассмотрим условие:
9 - 4x^2 > 0
Перейдем к решению первого неравенства:
9 - 4x^2 ≥ 0
Для упрощения неравенства, перенесем все в левую часть:
4x^2 - 9 ≥ 0
Выражение в левой части разности можно преобразовать к виду разности квадратов:
(2x - 3)(2x + 3) ≥ 0
Рассмотрим значения, при которых произведение двух множителей положительно или равно нулю.
1) Если (2x - 3) ≥ 0 и (2x + 3) ≥ 0, то оба множителя отрицательны или равны нулю:
2x - 3 ≥ 0 => 2x ≥ 3 => x ≥ 3/2
2x + 3 ≥ 0 => 2x ≥ -3 => x ≥ -3/2
2) Если (2x - 3) ≤ 0 и (2x + 3) ≤ 0, то оба множителя положительны или равны нулю:
2x - 3 ≤ 0 => 2x ≤ 3 => x ≤ 3/2
2x + 3 ≤ 0 => 2x ≤ -3 => x ≤ -3/2
Итак, область определения функции f(x) состоит из значений x, для которых выполняются все полученные неравенства одновременно.
Вариант 1: x ≥ 3/2 и x ≥ -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые больше или равны 3/2.
Вариант 2: x ≤ 3/2 и x ≤ -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые меньше или равны -3/2.
2) Учитывая ограничение по определению аргумента, рассмотрим второе неравенство:
9 - 4x^2 > 0
Для упрощения неравенства, перенесем все в левую часть:
4x^2 - 9 < 0
Как и в предыдущем случае, выражение в левой части можно преобразовать к виду разности квадратов:
(2x - 3)(2x + 3) < 0
Рассмотрим значения, при которых произведение двух множителей отрицательно.
1) Если (2x - 3) > 0 и (2x + 3) < 0, то один множитель положителен, а второй отрицателен:
2x - 3 > 0 => 2x > 3 => x > 3/2
2x + 3 < 0 => 2x < -3 => x < -3/2
2) Если (2x - 3) < 0 и (2x + 3) > 0, то один множитель отрицателен, а второй положителен:
2x - 3 < 0 => 2x < 3 => x < 3/2
2x + 3 > 0 => 2x > -3 => x > -3/2
Таким образом, область определения функции f(x) состоит из значений x, для которых выполняется второе неравенство.
Вариант 1: x > 3/2 и x < -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые больше 3/2 и меньше -3/2.
Вариант 2: x < 3/2 и x > -3/2
То есть, область определения включает все значения x, которые меньше 3/2 и больше -3/2.
Итак, область определения функции f(x) складывается из пересечения областей, полученных в каждом случае.
Область определения функции f(x) состоит из всех значений x, которые больше или равны 3/2, и меньше или равны -3/2.
Окончательно, область определения функции f(x): x ≥ 3/2 и x ≤ -3/2.