Question

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої заданими лініями y^2-4x=0,x-2=0,x-4=0,y=0 --------------------------------------------
Перевод на русский :
Найти объем тела,сформированого вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченного этими линиями y
Очень нужно

$y ^{2} - 4x = 0 .x - 2 = 0.x - 4 = 0.y = 0$

Answer 1

ответ:    $V=24\pi$  ед³  .

$y^2-4x=0\ \ \ \to \ \ \ y=\pm \sqrt{4x}\ \ ,\ \ y=\pm 2\sqrt{x}\\\\x-2=0\ \ ,\ \ \ x-4=0\ \ ,\ \ y\geq 0\\\\\\S=\int\limits^4_2\, 2\sqrt{x}\, dx=2\cdot \dfrac{x^{3/2}}{3/2}\ \Big|_2^4=\dfrac{4}{3}\cdlot \sqrt{x^3}\Big|_2^4=\dfrac{4}{3}\cdot \Big(\sqrt{4^3}-\sqrt{2^3}\Big)=\dfrac{4}{3}\cdot \Big(8-2\sqrt2\Big)$

$V=\pi \int\limits^4_2\, y^2(x)\, dx=\pi \int\limits^4_2\, 4x\cdot dx=\pi \cdot \dfrac{4x^2}{2}\ \Big|_2^4=2\pi \cdot (4^2-2^2)=2\pi \cdot 12=24\pi$