Question

Представьте данный многочлен (2x + y )^2 +(2xy-1)^2 - (2x-y)^2 в виде произведения а) двух одинаковых многочленов; б) двух разных многочленов.

Answer 1

$(2x+y)^2+(2xy-1)^2-(2x-y)^2=$

$=4x^2+4xy+y^2+4x^2y^2-4xy+1-(4x^2-4xy+y^2)=$

$=4x^2+4xy+y^2+4x^2y^2-4xy+1-4x^2+4xy-y^2=$

Заметим, что члены с $4x^2$ взаимоуничтожаются, тогда

$=4xy+y^2+4x^2y^2-4xy+1+4xy-y^2=$

Члены с $y^2$ тоже взаимоуничтожаются,

$=4xy+4x^2y^2-4xy+1+4xy=$

Также члены с $4xy$ взаимоуничтожаются

$=4x^2y^2+1+4xy=$

Заметим, что получился полный квадрат

$=(2xy+1)^2$

Это произведение двух одинаковых многочленов.

Произведение двух разных многочленов может напишу через час.

Answer 2

a) Для того чтобы представить данный многочлен в виде произведения двух одинаковых многочленов, мы можем воспользоваться формулой квадрата суммы:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Применим эту формулу к первому слагаемому (2x + y)^2:
(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 * 2x * y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2

Применим формулу квадрата суммы также ко второму слагаемому (2xy-1)^2:
(2xy-1)^2 = (2xy)^2 + 2 * 2xy * (-1) + (-1)^2 = 4x^2y^2 - 4xy + 1

Применим формулу квадрата разности к последнему слагаемому (2x-y)^2:
(2x-y)^2 = (2x)^2 - 2 * 2x * y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2

Теперь сложим полученные результаты:
4x^2 + 4xy + y^2 + 4x^2y^2 - 4xy + 1 - (4x^2 - 4xy + y^2)

Удалим скобки и сгруппируем слагаемые:
4x^2 + 4x^2y^2 - 4x^2 + 4xy - 4xy + y^2 - y^2 + 1

Заметим, что некоторые слагаемые сокращаются:
4x^2 - 4x^2 = 0
4xy - 4xy = 0
y^2 - y^2 = 0

Осталось только слагаемое 1:
1

Таким образом, заданный многочлен (2x + y)^2 +(2xy-1)^2 - (2x-y)^2 представим в виде произведения двух одинаковых многочленов: 1.

б) Теперь представим данный многочлен в виде произведения двух разных многочленов.

Мы можем разложить каждое слагаемое и перемножить полученные многочлены:

(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 * 2x * y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2

(2xy-1)^2 = (2xy)^2 + 2 * 2xy * (-1) + (-1)^2 = 4x^2y^2 - 4xy + 1

(2x-y)^2 = (2x)^2 - 2 * 2x * y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2

Теперь перемножим полученные многочлены:

(4x^2 + 4xy + y^2)(4x^2y^2 - 4xy + 1)(4x^2 - 4xy + y^2)

Полученное выражение является произведением двух разных многочленов. В данном случае, дальнейшие сокращения сложны провести, и поэтому на данном этапе мы достигли оптимального ответа.

Таким образом, заданный многочлен (2x + y)^2 +(2xy-1)^2 - (2x-y)^2 представим в виде произведения двух разных многочленов, которые получены путем разложения и перемножения отдельных слагаемых.