Question

Найти интеграл

(10х^2-16х)/(х^3-6х^2+16х-16)

Answer 1

${x}^{3} - 6 {x}^{2} + 16x - 16 = (x - 2)( {x}^{2} - 4x + 8) \\$

$\int\limits \frac{10 {x}^{2} - 16x}{(x - 2) ({x}^{2} - 4x + 8)} dx \\$

делим на простейшие дроби с неопределенных коэффициентов:

$\frac{10 {x}^{2} - 16x }{(x - 2)( {x}^{2} - 4x + 8)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{Bx + C}{ {x}^{2} - 4x + 8 } \\ 10 {x}^{2} - 16x = A( {x}^{2} - 4x + 8) + (Bx + C)(x - 2) \\ 10 {x}^{2} - 16x = A{x}^{2} - 4 Ax + 8A + B {x}^{2} - 2Bx + Cx - 2C \\ \\ 10 = A+ B\\ - 16 = - 4A - 2B + C \\ 0 = 8A - 2C \\ \\ B= 10 - A \\ C = 4A \\ - 4A- 20 + 2A + 4A = - 16 \\ \\ 2A = 4 \\ A = 2 \\ \\ B = 8 \\ C = 8$

получаем:

$\int\limits \frac{2dx}{x - 2} + \int\limits \frac{8x + 8}{ {x}^{2} - 4x + 8 } dx \\$

первый интеграл

$\int\limits \frac{2dx}{x - 2} = 2\int\limits \frac{d(x - 2)}{x - 2} = 2 ln(x - 2) + C \\$

второй интеграл

$\int\limits \frac{8x + 8}{ {x}^{2} - 4x + 8 } dx \\$

делаем в числителе производную знаменателя:

(х^2-4х+8)'= 2х-4

$\int\limits \frac{ 4(2x + 2) }{ {x}^{2} - 4x + 8} dx = 4\int\limits \frac{2x - 4 + 6}{ {x}^{2} - 4x + 8 } dx = \\ = 4 \int\limits \frac{2x - 4}{ {x}^{2} - 4x + 8} dx + 6 \times 4 \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - 4x + 8 } = \\ = 4 \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 4x + 8) }{ {x}^{2} - 4x + 8 } + 24 \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - 4x + 4 + 4 } = \\ = 4 ln( {x}^{2} - 4x + 8 ) + 24 \int\limits \frac{d(x - 2)}{ {(x - 2)}^{2} + {2}^{2} } = \\ = 4 ln( {x}^{2} - 4x + 8) + 24 \times \frac{1}{2} arctg( \frac{x - 2}{2} ) + C= \\ = 4ln( {x}^{2} - 4x + 8 ) + 12arctg( \frac{x - 2}{2} ) + C$

Получаем:

$2 ln(x - 2) + 4 ln( {x}^{2} - 4x + 8) + 12arctg( \frac{x - 2}{2} ) + C \\$