Добро пожаловать в наш урок, где мы будем решать задачу на нахождение площади фигуры.
Итак, у нас есть фигура, ограниченная осью абсцисс (ось x) и двумя линиями: y = 1/x^2, x = 1/2 и x = 1/3. Наша задача - найти площадь этой фигуры.
Первым шагом мы будем рассматривать графики этих линий, чтобы визуально определить форму фигуры.
Давайте начнем с графика функции y = 1/x^2. Эта функция является гиперболой, которая симметрично падает вниз и проходит через точку (1, 1).
Построим график этой функции в координатной плоскости. Мы знаем, что когда x приближается к нулю, значение функции становится очень большим. Также, когда x становится отрицательным, значение функции также становится отрицательным.
Теперь построим линии x = 1/2 и x = 1/3 на том же графике. Когда x = 1/2, точка на графике будет находиться на половине расстояния между осью абсцисс и графиком функции y = 1/x^2. Аналогично, когда x = 1/3, точка будет на трети расстояния между этими двумя линиями.
Теперь у нас есть визуальное представление о форме фигуры. Однако, нам нужно найти площадь этой фигуры, чтобы дать точный ответ.
Для нахождения площади мы будем использовать интегралы. Итак, мы должны разбить фигуру на более маленькие элементы и вычислить интеграл от каждого элемента. Затем мы просуммируем все эти интегралы, чтобы получить общую площадь фигуры.
Давайте начнем с разбиения фигуры на элементы. Мы видим, что фигура ограничена линиями x = 1/2 и x = 1/3. Когда x движется от 1/3 до 1/2, он ограничивает вертикальные "полоски".
Для нахождения площади каждой полоски мы вычислим разность между значениями функции y = 1/x^2 при x = 1/2 и x = 1/3. То есть, мы должны найти значение функции в этих точках и вычесть меньшее значение из большего.
Предлагаю вычислить значения функции y = 1/x^2 при x = 1/2 и x = 1/3:
При x = 1/2: y = 1/(1/2)^2 = 1/(1/4) = 4
При x = 1/3: y = 1/(1/3)^2 = 1/(1/9) = 9
Теперь мы знаем, что значение функции при x = 1/2 равно 4, а при x = 1/3 равно 9. Мы будем вычитать 4 из 9 для каждой полоски.
Теперь нам нужно узнать, какие значения x будут нашими пределами интегрирования. Мы видим, что фигура ограничена линиями x = 1/2 и x = 1/3. Таким образом, пределы интегрирования будут от 1/3 до 1/2.
Тогда формула для нахождения площади фигуры будет следующей:
S = ∫[1/3, 1/2] (9 - 4)dx
Теперь нам нужно решить этот интеграл. Интеграл ∫(9 - 4)dx можно упростить, так как 9 - 4 = 5 является постоянным значением.
Таким образом, мы можем записать:
S = 5 ∫[1/3, 1/2] dx
Для решения этого интеграла мы можем использовать формулу интеграла от постоянной функции:
∫[a, b] cdx = c(b - a),
где c - постоянное значение и [a, b] - пределы интегрирования.
Применим эту формулу к нашему интегралу:
S = 5 (1/2 - 1/3)
Теперь мы можем вычислить это выражение:
S = 5 (3/6 - 2/6) = 5 (1/6) = 5/6
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями y = 1/x^2, x = 1/2 и x = 1/3, равна 5/6 или, в десятичной записи, около 0.833.
Надеюсь, что этот подробный и обстоятельный ответ помог разобраться в решении этой задачи. Если есть какие-либо вопросы, не стесняйся задавать!
Итак, у нас есть фигура, ограниченная осью абсцисс (ось x) и двумя линиями: y = 1/x^2, x = 1/2 и x = 1/3. Наша задача - найти площадь этой фигуры.
Первым шагом мы будем рассматривать графики этих линий, чтобы визуально определить форму фигуры.
Давайте начнем с графика функции y = 1/x^2. Эта функция является гиперболой, которая симметрично падает вниз и проходит через точку (1, 1).
Построим график этой функции в координатной плоскости. Мы знаем, что когда x приближается к нулю, значение функции становится очень большим. Также, когда x становится отрицательным, значение функции также становится отрицательным.
Теперь построим линии x = 1/2 и x = 1/3 на том же графике. Когда x = 1/2, точка на графике будет находиться на половине расстояния между осью абсцисс и графиком функции y = 1/x^2. Аналогично, когда x = 1/3, точка будет на трети расстояния между этими двумя линиями.
Теперь у нас есть визуальное представление о форме фигуры. Однако, нам нужно найти площадь этой фигуры, чтобы дать точный ответ.
Для нахождения площади мы будем использовать интегралы. Итак, мы должны разбить фигуру на более маленькие элементы и вычислить интеграл от каждого элемента. Затем мы просуммируем все эти интегралы, чтобы получить общую площадь фигуры.
Давайте начнем с разбиения фигуры на элементы. Мы видим, что фигура ограничена линиями x = 1/2 и x = 1/3. Когда x движется от 1/3 до 1/2, он ограничивает вертикальные "полоски".
Для нахождения площади каждой полоски мы вычислим разность между значениями функции y = 1/x^2 при x = 1/2 и x = 1/3. То есть, мы должны найти значение функции в этих точках и вычесть меньшее значение из большего.
Предлагаю вычислить значения функции y = 1/x^2 при x = 1/2 и x = 1/3:
При x = 1/2: y = 1/(1/2)^2 = 1/(1/4) = 4
При x = 1/3: y = 1/(1/3)^2 = 1/(1/9) = 9
Теперь мы знаем, что значение функции при x = 1/2 равно 4, а при x = 1/3 равно 9. Мы будем вычитать 4 из 9 для каждой полоски.
Теперь нам нужно узнать, какие значения x будут нашими пределами интегрирования. Мы видим, что фигура ограничена линиями x = 1/2 и x = 1/3. Таким образом, пределы интегрирования будут от 1/3 до 1/2.
Тогда формула для нахождения площади фигуры будет следующей:
S = ∫[1/3, 1/2] (9 - 4)dx
Теперь нам нужно решить этот интеграл. Интеграл ∫(9 - 4)dx можно упростить, так как 9 - 4 = 5 является постоянным значением.
Таким образом, мы можем записать:
S = 5 ∫[1/3, 1/2] dx
Для решения этого интеграла мы можем использовать формулу интеграла от постоянной функции:
∫[a, b] cdx = c(b - a),
где c - постоянное значение и [a, b] - пределы интегрирования.
Применим эту формулу к нашему интегралу:
S = 5 (1/2 - 1/3)
Теперь мы можем вычислить это выражение:
S = 5 (3/6 - 2/6) = 5 (1/6) = 5/6
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями y = 1/x^2, x = 1/2 и x = 1/3, равна 5/6 или, в десятичной записи, около 0.833.
Надеюсь, что этот подробный и обстоятельный ответ помог разобраться в решении этой задачи. Если есть какие-либо вопросы, не стесняйся задавать!