Question

Логарифм. Реши уравнениe, используя метод подстановки.(с ОДЗ) пошагово

lg²x-3lgx=lgx²-4

Answer 1

$\lg^2x - 3\lg x = \lg x^2-4$

Найдём ОДЗ. $\lg$- это логарифм по основанию 10, поэтому на основание никаких ограничений не накладывается. Аргумент логарифма должен быть положительным, учитываем это условие для каждого логарифма.

$\begin{equation*}\begin{cases}x0\\x 0\\x^2 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x 0\\x 0\\x \neq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x\in(0;+\infty)}}$

По свойству логарифма:  $\log_ab^c = c\log_ab$.

$\lg^2x - 3\lg x = 2\lg x - 4\\\\\lg^2x - \underline{3\lg x} - \underline{2\lg x} + 4 = 0\\\\\lg^2x - 5\lg x + 4 = 0$

Введём замену:  $t = \lg x,\ t\in\mathbb{R}$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_1t_2 = 4\\t_1 + t_2 = 5\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| t = 4; t = 1$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}\lg x = 4\\\lg x = 1\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 10^4\\x = 10^1\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 10000\\x = 10\end{gathered}$

Оба корня входят в найденную нами ранее ОДЗ, а значит, оба являются решениями уравнения.

ответ: 10; 10000.