Question

Опиши свойства квадратичной функции y = x2 – 10x + 24. D(y) =
.
Вершина параболы:
.
Так как
, ветви параболы направлены вверх.
Функция возрастает на промежутке: x ∈
.
Функция убывает на промежутке: x ∈
.
Наименьшее значение функции: y =
.
Нули функции: x1 =
; x2 =
.
;
;
;
;

Answer 1

Квадратичная функция имеет общий вид y = ax^2 + bx + c, где a, b и c - коэффициенты.

В данном случае у нас функция y = x^2 – 10x + 24. Сравнивая с общим видом, мы видим, что a = 1, b = -10 и c = 24.

Свойства квадратичной функции:

1. Область определения (D(y)): неограничена, так как квадратичная функция определена для всех значений x.

2. Вершина параболы: вершина параболы имеет координаты (h, k), где h = -b/2a и k = f(h). В данном случае, чтобы найти h, мы используем формулу h = -(-10)/(2 * 1) = 10/2 = 5. Теперь, чтобы найти k, мы подставляем h обратно в уравнение функции: k = f(5) = 5^2 - 10(5) + 24 = 25 - 50 + 24 = -1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (5, -1).

3. Направление ветвей параболы: так как a > 0, ветви параболы направлены вверх.

4. Функция возрастает на промежутке: чтобы найти интервал, на котором функция возрастает, мы анализируем знак производной функции. Производная функции будет равна 2aх + b. Зная, что a = 1 и b = -10, мы можем записать производную функцию как f'(x) = 2х - 10. Чтобы найти интервал, на котором функция возрастает, мы решаем неравенство f'(x) > 0.

2х - 10 > 0
2х > 10
х > 5

Таким образом, функция возрастает на промежутке x ∈ (5, +∞).

5. Функция убывает на промежутке: чтобы найти интервал, на котором функция убывает, мы также анализируем знак производной функции. Записав производную функцию как f'(x) = 2х - 10, мы можем решить неравенство f'(x) < 0.

2х - 10 < 0
2х < 10
х < 5

Таким образом, функция убывает на промежутке x ∈ (-∞, 5).

6. Наименьшее значение функции: чтобы найти наименьшее значение функции (крайний минимум), мы используем координату k вершины параболы. В данном случае, наименьшее значение функции y = -1.

7. Нули функции: чтобы найти нули функции (условия, при которых функция равна нулю), мы решаем квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0. В данном случае у нас уравнение x^2 - 10x + 24 = 0. Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение или формулу дискриминанта:

a) Факторизация: мы ищем два числа, сумма и произведение которых дают -10 и 24 соответственно. В данном случае, 6 и -4 подходят. Таким образом, уравнение может быть записано в виде (x - 6)(x + 4) = 0. Решением уравнения являются x1 = 6 и x2 = -4.

b) Квадратное уравнение: мы решаем уравнение x^2 - 10x + 24 = 0, используя формулу x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). В данном случае a = 1, b = -10 и c = 24. Подставляя значения, мы получаем x = (10 ± √(100 - 96))/2 = (10 ± √4)/2 = (10 ± 2)/2. Решением уравнения являются x1 = 6 и x2 = -4.

Таким образом, нули функции равны x1 = 6 и x2 = -4.