Число 10000 можно не учитывать, поэтому все числа там будут трёхзначные или четырёхзначные. С первыми всё сразу ясно: их с требуемым свойством ровно 9. Четырёхзначные числа, которые нас интересуют, имеют одну из четырёх форм: xxxa, xxax, xaxx, axxx, где x x не равно a a . Чисел вида xxxa имеется 92=81 9 2 = 81 по правилу произведения: цифру x выбираем любой, кроме нуля цифра a -- любая из десяти, кроме Легко видеть, что 81 получится и в остальных случаях по тому же принципу. Итого 9+4⋅81=333 9 + 4 ⋅ 81 = 333 .
Начнем с того, что выражение x²+y²≥0 при любых x и y, значит отрицательные значения a мы не рассматриваем.
Первое уравнение системы: x²+y²=a это уравнение окружности с центром в начале координат. Значение a задает радиус окружности.
Второе уравнение системы: xy=1 это гипербола y=1/x, лежащая в 1 и 3 координатных четвертях. Самые близкие к началу координат точки, принадлежащие этому графику - (1;1) и (-1;-1)
Рассмотрим три случая: 1) a таково, что окружность проходит через точки (-1;-1) и (1;1), следовательно система имеет 2 решения. Найдем a. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами равными 1, гипотенуза=радиус=√(1²+1²)=√2 ⇒ a=√2²=2 При a=2 система имеет 2 решения
2) а таково, что окружность не пересекает гиперболу y=1/x. это произойдет в том случае, если радиус меньше двух. При a∈[0;2) система не имеет решений
3) а таково, что окружность пересекает гиперболу в 4 точках. это произойдет, если радиус больше двух. При a∈(2;+∞) система имеет 4 решения
Графики для каждого случая приложены для наглядности.
x-y=3
2x+3y=16
x-y=3
y=x-3
2x+3y=16
2x+3*(x-3)=16
2x+3x-9-16=0
5x-25=0
x=25/5
x=5
x-y=3
5-y=3
y=2
4x-3y=-1
3x-2y=12
3x-2y=12
y=1.5x-6
4x-3y=-1
4x-3*(1.5x-6)=-1
4x-4.5x+18+1=0
-0.5x+19=0
x=19/0.5
x=38
3x-2y=12
3*38-2y=12
114-2y-12=0
102-2y=0
y=102/2
x=51