Question

Даны неотрицательные целые числа a a , b b такие, что 108 a ⋅ 288 b 108a⋅288b делится на 6 440 6440 . Найдите минимальное возможное значение a + b a+b . ​

Answer 1

Объяснение:

$108^{a} *288^{b} =6^{440}$  раскладываем на множители, при чем минимально возможные показатели степени "а" и  "b"  будут при равенстве чисел$(2^{2}*3^{3} )^{a} * (2^{5} *3^{2} )^{b} =2^{440} 3^{440}$

$2^{2a}*3^{3a} * 2^{5b} *3^{2b} =2^{440} 3^{440}$

$2^{2a+5b}*3^{3a+2b} =2^{440} *3^{440}$

$\left \{ {{2a+5b=440} \atop {3a+2b=440}} \right.$  а теперь решая систему определим "a"  "b"

$\left \{ {{a-3b=0} \atop {3a+2b=440}} \right.$     $\left \{ {{a=3b} \atop {3*3b+2b=440}} \right.$

$11b=440$              $\left \{ {{b=40} \atop {a=3b=3*40}=120} \right.$

проверка:

$2^{2*120+5*40}*3^{3*120+2*40} =2^{440} *3^{440}$

$2^{240+200}*3^{360+80} =2^{440} *3^{440}$

.