Question

Дана функция y=x^3+3x^2-4 найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 1]

Answer 1

$\displaystyle y=x^3+3x^2-4$

Найдем производную функции

$\displaystyle y`=3x^2+6x$

НАйдем нули производной

$\displaystyle 3x^2+6x=0\\\\3x(x+2)=0\\\\x=0; x=-2$

Определим знаки производной

___+___ -2____-______0_____+__

возрастает      убывает          возрастает

Промежутки возрастания (-oo;-2] и [0;+oo)

Промежутки убывания [-2;0]

Точки экстремума: точки в которой производная равна нулю (или не существует) - точки экстремума

х= -2 и х= 0 точки экстремума

При х= -2 точка максимума

при х=0 точка минимума

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-4;1]

Наибольшее в точке х=-2 точке максимума

y(-2)=(-2)³+3(-2)²-4=-8+12-4=0 наибольшее значение

Но на отрезке [0;1] функция возрастает, и можно предположить что в точке x=1 значение функции может оказаться больше чем значение в точке максимума. Проверим:

y(1)=(1)³+3*(1)²-4=1+3-4= 0

Значения совпадают, значит наибольшее значение равно 0

Теперь найдем наименьшее значение:

при х= 0 (точка минимума)

у(0)=0³+3*0²-4= - 4 Наименьшее значение

Но на отрезке [-4;-2] функция возрастает, и можно предположить что в точке -4 значение функции может оказаться меньше чем значение в точке минимума. Проверим:

y(-4)=(-4)³+3*(-4)²-4=-64+48-4= -20

Значит Наименьшее значние = -20, наибольшее 0