Для решения данного неравенства методом интервалов, нам необходимо определить интервалы значений переменной x, при которых неравенство выполнено.
Для начала, найдем значения x, при которых каждый из множителей равен нулю:
1) (x+1) = 0
x = -1
2) (x-2) = 0
x = 2
3) (x+5) = 0
x = -5
Теперь, построим интервалы на числовой оси, используя найденные значения:
-∞ -5 -1 2 +∞
Из этого графика видно, что на каждом интервале значения переменной x неравенство может быть либо положительным, либо отрицательным.
Рассмотрим каждый из интервалов отдельно:
1) Если x < -5, то все три скобки в неравенстве будут отрицательными числами, т.к. x+1 < 0, x-2 < 0 и x+5 < 0. Умножение отрицательных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в данном случае, не выполняется.
2) Если -5 < x < -1, то первая и третья скобки в неравенстве будут отрицательными числами (т.к. x+1 < 0 и x+5 < 0), а вторая скобка будет положительным числом (т.к. x-2 > 0). Умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в данном случае, выполняется. Итак, -5 < x < -1 - это один из интервалов, при котором неравенство выполнено.
3) Если -1 < x < 2, то первая скобка будет положительным числом (т.к. x+1 > 0), вторая скобка будет отрицательным числом (т.к. x-2 < 0), а третья скобка будет положительным числом (т.к. x+5 > 0). Умножение двух положительных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в этом интервале, снова выполняется. Итак, -1 < x < 2 - второй интервал, при котором неравенство выполнено.
4) Если x > 2, то все три скобки в неравенстве будут положительными числами, т.к. x+1 > 0, x-2 > 0 и x+5 > 0. Умножение положительных чисел дает положительный результат, поэтому неравенство, в данном случае, снова не выполняется.
Итак, неравенство (x+1)(x-2)(x+5) > 0 выполняется при -5 < x < -1 и -1 < x < 2. Ответом на задачу будет объединение этих двух интервалов:
решение на фотографии