Question

Вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной указанными линиями​

Answer 1

$D:y=3x^2\ ,\ y=3\\\\3x^2=3\ \ \to \ \ \ x^2=1\ \ ,\ \ \ x=\pm 1\\\\\iint \limits _{D}(x+1)\, y^2\, dx\, dy=\int\limits^1_{-1}\, (x+1)\, dx \int\limits^{3}_{3x^2}\, y^2\, dy=\int\limits^1_{-1}\, (x+1)\, dx\Big(\dfrac{y^3}{3}\Big|_{3x^2}^3\Big)=\\\\\\=\int\limits^1_{-1}\, (x+1)\cdot \dfrac{1}{3}\, (27-27x^6)\, dx=9\int\limits^1_{-1}\, (x+1)(1-x^6)\, dx=\\\\\\=9\int\limits^1_{-1}\, (x-x^7+1-x^6)\, dx=9\, \Big(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^8}{8}+x-\dfrac{x^7}{7}\Big)\Big|_{-1}^1=$

$=9\, \Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}+1-\dfrac{1}{7}\Big)-9\, \Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}-1+\dfrac{1}{7}\Big)=9\cdot \dfrac{6}{7}+9\cdot \dfrac{6}{7}=\dfrac{108}{7}$