Question

Упростите выражение. 1) sinacosa;
2) cosacos(π/2-a);
3) cos4a+sin^22a;
4) sin2a+(sina-cosa)^2.​

Answer 1

1) Упрощение выражения sinacosa:
Для упрощения этого выражения нам пригодится тригонометрическая формула двойного угла для синуса, а именно:
sin(2α) = 2sinαcosα.

Получаем:
sinacosa = (2sin(a)cos(a))cos(a) = 2sin(a)cos^2(a).

2) Упрощение выражения cosacos(π/2-a):
Используем формулу разности для косинуса:
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

Получаем:
cosacos(π/2-a) = cos(a)cos(π/2) + sin(a)sin(π/2) = cos(a)*0 + sin(a)*1 = sin(a).

3) Упрощение выражения cos4a+sin^22a:
Мы знаем, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1 (тождество Пифагора).

Заметим, что sin^2(2a) = (sin(2a))^2, а sin(2a) по формуле двойного угла равен 2sin(a)cos(a).

Получаем:
sin^22a = (2sin(a)cos(a))^2 = 4sin^2(a)cos^2(a).

Таким образом,
cos4a+sin^22a = cos(4a) + 4sin^2(a)cos^2(a).

4) Упрощение выражения sin2a+(sina-cosa)^2:
Используем формулу разности для синуса:
sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ.

Получаем:
sin2a = 2sin(a)cos(a).

Возводим в квадрат (sina-cosa)^2:
(sina-cosa)^2 = sin^2(a) - 2sin(a)cos(a) + cos^2(a) = 1 - 2sin(a)cos(a).

Таким образом,
sin2a+(sina-cosa)^2 = 2sin(a)cos(a) + (1 - 2sin(a)cos(a)) = 1.

Итак, после упрощения получили следующие ответы:
1) 2sin(a)cos^2(a);
2) sin(a);
3) cos(4a) + 4sin^2(a)cos^2(a);
4) 1.