Объяснение:
Как найти область определения функции?
Примеры решений
Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.
Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел). За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.
Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.
Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения функции
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения и графика там нет.
Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.
Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:
Область определения функции, в которой есть дробь
Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.
Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби
1) 103040,5 сто три тысячи сорок целых и 5 десятых
10304,05 десять тысяч триста четыре целых и 5 сотых
1030,405 одна тысяча тридцать целых и 405 тысячных
103,0405 сто три целых и четыреста пять десятитысячных
10,30405 десять целых и тридцать тысяч четыреста пять стотысячных
1,030405 одна целая и тридцать тысяч четыреста пять миллионных
2) 0,0870421 ноль целых и восемьсот семьдесят тысяч четыреста двадцать одна десятимиллионная
0,870421 ноль целых и восемьсот семьдесят тысяч четыреста двадцать одна миллионная
8,70421 восемь целых и семьдесят тысяч четыреста двадцать одна стотысячная
87,0421 восемьдесят семь целых и четыреста двадцать одна десятитысячная
870,421 восемьсот семьдесят тысяч и четыреста двадцать одна тысячная
8704,21 восемь тысяч семьсот четыре целых и двадцать одна сотая
87042,1 восемьдесят семь тысяч сорок две целых и одна десятая
1) сто три тысячи сорок целых и пять десятых
десять тысяч триста четыре целых и пять сотых
одна тысяча тридцать целых и четыреста пять тысячных
сто три целых и четыреста пять десятитысячных
десять целых и тридцать тысяч четыреста пять стотысячных
одна целая и тридцать тысяч четыреста пять милионных
2) ноль целых восемьсот семьдесят тысяч четыреста двадцать одна десятимилионная
ноль целых восемьсот семьдесят тысяч четыреста двадцать одна милионная
8 целых 70421 стотысячных
87 целых 421 десятитысячная
870 целых 421 тысячная
8704 целых 21 сотая
87042 целых одна десятая
Вот так, надеюсь
______________________
Можно лучший ответ?