Для решения задачи, нам необходимо определить значения a, b и c, с учетом данной цепочки сравнений.
Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:
Уравнение 57 ≡ 5⋅(5a)3 (mod13)
Заметим, что 57 и 13 взаимно простые числа, поэтому можем применить расширенный алгоритм Евклида, чтобы найти обратный элемент для 5 в модуле 13. Пусть x будет таким обратным элементом, то есть 5x ≡ 1 (mod13). Решая данное уравнение, получаем x = 8.
Теперь можем умножить обе стороны данного уравнения на 8:
57⋅8 ≡ (5⋅(5a)3)⋅8 (mod13)
456 ≡ (25a)3⋅8 (mod13)
Уравнение (25a)3≡5⋅b^3 (mod13)
Используем закон степени и свойства модуля:
(25a)3 ≡ 5⋅b3 (mod13)
(53a) ≡ 5⋅b3 (mod13)
Используем получившееся равенство и предыдущее:
456 ≡ (53a) (mod13)
Теперь можем применить закон умножения модуля:
456 ≡ 5⋅3a (mod13)
Уравнение 5⋅3a ≡ c (mod13)
Теперь можем найти значение a, перебирая числа от 0 до 12 и проверяя каждое значение, чтобы уравнение было верным:
Попробуем a = 1:
5⋅3⋅1 ≡ c (mod13)
15 ≡ c (mod13)
Мы видим, что 15 не делится на 13 без остатка, поэтому a = 1 не подходит.
Продолжим перебор:
Попробуем a = 2:
5⋅3⋅2 ≡ c (mod13)
30 ≡ c (mod13)
30 - 13 = 17, 17 - 13 = 4, итого получаем, что c = 4.
Таким образом, a = 2, b = 3 и c = 4, удовлетворяют данной цепочке сравнений.
ответ:5^7=5*(5^2)^3= 5*(25)^3=c
a=2, b=25
5*(25^3)=78125
c=78125-13=78112
Объяснение: