1) Найдем производную и отыщем промежутки возрастания, убывания и точки экстремумов:
P' = -12x^3 + 42x^2 - 42x + 12>=0
-12(x-1)(x^2 + x + 1) + 42x(x-1)>=0
(x-1)(2x^2 - 5x + 2) <=0 (знак неравенства поменялся из-за сокращения на (-6), поэтому промежутки возрастания будут при отрицательных значениях указанного выражения).
(х-1)(2х-1)(х-2)<=0
(-) (+) (-) (+)
(1/2)(1)(2)
возрастает убыв. возр. убыв.
x= 1/2 - точка максимума, у(1/2) = 7,58.
х = 1 - точка минимума, у(1) = - 0,1.
х = 2 - точка максимума у(2) = 1,9.
Примерный вид графика высылаю по почте.
2). Для многочлена четвертой степени, имеющего 4 действительных корня справедлива обобщенная теорема Виета. Распишем указанную сумму, а потом воспользуемся формулой Виета.
2/х1 + 2/х2 + 2/х3 + 2/х4=2*(х2х3х4 + х1х3х4 + х1х2х4 +х1х2х3)/(х1х2х3х4)
По теореме Виета скобка в числителе равна (-а1/а4), а знаменатель равен
(а0/а4), где а1 - коэффициент при х, а4 - коэффициент при x^4, а0 - свободный член.
(-а1/а4) = (-12)/(-3) = 4
а0/а4 = (-2,1)/(-3) = 0,7
Тогда данное в условии выражение равно 2*4/0,7 = 80/7
3) Большие выкладки с корнями, решение вышлю по почте. Здесь неудобно набивать. Слишком много скобок и индексов.
Дискриминанты обоих уравнений должны быть неотрицательны:
a^2 - 4 >=0 a<=-2, a>=2
1 - 4a >=0 a<=1/4 Общая область: a<= -2
Не будем писать выражения для корней (решение слишком громоздкое). Воспользуемся лучше теоремой Виета:
Пусть х и у - корни первого уравнения, а х и z - корни второго. х - их общий корень. Тогда по теореме Виета имеем следующие уравнения для корней:
х + у = -а
ху = 1
x + z = -1
xz = a Имеем систему 4 уравнений с 4 неизвестными.
Из первого вычтем третье, а четвертое поделим на второе.
y - z = 1 - a y(1-a)= 1-a y = 1 значит из второго: х = 1
z/y = a z = ay
Подставив х и у в первое, получим 1 + 1 = - а, а = -2.
Удовлетворяет ОДЗ для а.
ответ: при а = -2.